Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2022

Sean las matrices $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} -1 & -3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$.

a) Compruebe que las matrices $A$ y $B$ son regulares. [0,5 puntos]

b) Calcule las matrices inversas de $A$ y $B$. [0,5 puntos]

c) Despeje $X$ en la ecuación matricial $AXB = A^t - 3B$ en donde $A^t$ denota la matriz traspuesta de $A$. [0,75 puntos]

d) Calcule $X$. [0,75 puntos]

$\textbf{a) Compruebe que las matrices } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{B}\textbf{ son regulares. [0,5 puntos]}$

Una matriz cuadrada es regular cuando su determinante no se anula, así que basta calcularlos.

$|A|=\begin{vmatrix}2&3\\ -1&-2\end{vmatrix}=-4+3=-1\neq0$

$|B|=\begin{vmatrix}-1&-3\\ 1&2\end{vmatrix}=-2+3=1\neq0$

Las dos son regulares y, por tanto, las dos tienen inversa.

$\textbf{b) Calcule las matrices inversas de } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{B}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Para una matriz de orden dos la inversa se escribe directamente intercambiando la diagonal principal, cambiando de signo la secundaria y dividiendo por el determinante.

$A^{-1}=\dfrac{1}{-1}\begin{pmatrix}-2&-3\\ 1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&3\\ -1&-2\end{pmatrix}$

$B^{-1}=\dfrac{1}{1}\begin{pmatrix}2&3\\ -1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&3\\ -1&-1\end{pmatrix}$

Obsérvese que $A^{-1}=A$: la matriz $A$ coincide con su propia inversa.

$\textbf{c) Despeje } \boldsymbol{X}\textbf{ en la ecuación matricial } \boldsymbol{AXB = A^t - 3B}\textbf{ en donde } \boldsymbol{A^t}\textbf{ denota la matriz traspuesta de } \boldsymbol{A}\textbf{. [0,75 puntos]}$

El producto de matrices no es conmutativo, de modo que hay que multiplicar por $A^{-1}$ por la izquierda y por $B^{-1}$ por la derecha, cada uno por el lado en que aparece.

$A^{-1}AXBB^{-1}=A^{-1}(A^{t}-3B)B^{-1}$

$X=A^{-1}(A^{t}-3B)B^{-1}$

$\textbf{d) Calcule } \boldsymbol{X}\textbf{. [0,75 puntos]}$

Resolvemos primero el paréntesis.

$A^{t}-3B=\begin{pmatrix}2&-1\\ 3&-2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-3&-9\\ 3&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&8\\ 0&-8\end{pmatrix}$

Multiplicamos ahora por la izquierda:

$A^{-1}(A^{t}-3B)=\begin{pmatrix}2&3\\ -1&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&8\\ 0&-8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10&-8\\ -5&8\end{pmatrix}$

y por la derecha:

$X=\begin{pmatrix}10&-8\\ -5&8\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&3\\ -1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}28&38\\ -18&-23\end{pmatrix}$

La solución de la ecuación matricial es $X=\begin{pmatrix}28&38\\ -18&-23\end{pmatrix}$.