Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2023

Considere la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & b \end{pmatrix}$ en función del parámetro $b \in \mathbb{R}$.

a) Calcule el rango de $A$ para los distintos valores del parámetro $b \in \mathbb{R}$. [0,75 puntos]

b) Determine para qué valores de $b \in \mathbb{R}$ la matriz $A$ tiene inversa. [0,75 puntos]

c) Sea $B$ el conjunto formado por los $b \in \mathbb{R}$ tales que $A$ tiene inversa. Calcule la inversa de $A$ para los diferentes valores del parámetro $b \in B$. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule el rango de } \boldsymbol{A}\textbf{ para los distintos valores del parámetro } \boldsymbol{b \in \mathbb{R}}\textbf{. [0,75 puntos]}$

La matriz es cuadrada de orden $2$, así que su rango es $2$ salvo que su determinante se anule. Lo calculamos.

$|A|=\begin{vmatrix}1&2\\ 2&b\end{vmatrix}=b-4$

$b-4=0\Rightarrow b=4$

Si $b\neq4$, entonces $|A|\neq0$ y $\operatorname{ran}(A)=2$.

Si $b=4$, la matriz queda

$A=\begin{pmatrix}1&2\\ 2&4\end{pmatrix}$

y su segunda fila es el doble de la primera, de modo que solo hay una fila linealmente independiente. Como además $A$ no es la matriz nula,

$\operatorname{ran}(A)=1$

$\textbf{b) Determine para qué valores de } \boldsymbol{b \in \mathbb{R}}\textbf{ la matriz } \boldsymbol{A}\textbf{ tiene inversa. [0,75 puntos]}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no se anula, es decir, si es de rango máximo.

$|A|=b-4\neq0\Rightarrow b\neq4$

La matriz $A$ tiene inversa para todo $b\in B=\mathbb{R}\setminus\{4\}$.

$\textbf{c) Sea } \boldsymbol{B}\textbf{ el conjunto formado por los } \boldsymbol{b \in \mathbb{R}}\textbf{ tales que } \boldsymbol{A}\textbf{ tiene inversa. Calcule la inversa de } \boldsymbol{A}\textbf{ para los diferentes valores del parámetro } \boldsymbol{b \in B}\textbf{. [1 punto]}$

Usamos la adjunta de la traspuesta. Como $A$ es simétrica, coincide con su traspuesta:

$A^{t}=\begin{pmatrix}1&2\\ 2&b\end{pmatrix}$

$\operatorname{Adj}(A^{t})=\begin{pmatrix}b&-2\\ -2&1\end{pmatrix}$

$A^{-1}=\dfrac{\operatorname{Adj}(A^{t})}{|A|}=\dfrac{1}{b-4}\begin{pmatrix}b&-2\\ -2&1\end{pmatrix}$

Comprobamos el resultado multiplicando:

$\dfrac{1}{b-4}\begin{pmatrix}1&2\\ 2&b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}b&-2\\ -2&1\end{pmatrix}=\dfrac{1}{b-4}\begin{pmatrix}b-4&0\\ 0&b-4\end{pmatrix}=I$