Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2023

Considere las siguientes matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 3 & -1 & 2 \end{pmatrix}$.

a) Calcule $A^t$, donde $A^t$ denota la traspuesta de la matriz $A$. [0,5 puntos]

b) Calcule $(3B - 2C)(A^t - I)$, donde $I$ es la matriz identidad de dimensión $3 \times 3$. [2 puntos]

$\textbf{a) Calcule } \boldsymbol{A^{t}}\textbf{, donde } \boldsymbol{A^{t}}\textbf{ denota la traspuesta de la matriz } \boldsymbol{A}\textbf{. [0,5 puntos]}$

La traspuesta se obtiene cambiando filas por columnas.

$A=\begin{pmatrix}1&-1&0\\ 2&0&3\\ 2&1&-1\end{pmatrix}\Rightarrow A^{t}=\begin{pmatrix}1&2&2\\ -1&0&1\\ 0&3&-1\end{pmatrix}$

$\textbf{b) Calcule } \boldsymbol{(3B - 2C)(A^{t} - I)}\textbf{, donde } \boldsymbol{I}\textbf{ es la matriz identidad de dimensión } \boldsymbol{3 \times 3}\textbf{. [2 puntos]}$

Antes de multiplicar comprobamos que las dimensiones encajan: $B$ y $C$ son $2\times3$, luego $3B-2C$ también lo es, y $A^{t}-I$ es $3\times3$. El producto está definido y será una matriz $2\times3$.

Resolvemos primero los dos paréntesis por separado.

$3B-2C=3\begin{pmatrix}2&1&0\\ -1&2&1\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}-1&2&1\\ 3&-1&2\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}6&3&0\\ -3&6&3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2&4&2\\ 6&-2&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8&-1&-2\\ -9&8&-1\end{pmatrix}$

$A^{t}-I=\begin{pmatrix}1&2&2\\ -1&0&1\\ 0&3&-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&2&2\\ -1&-1&1\\ 0&3&-2\end{pmatrix}$

Multiplicamos ahora fila por columna.

$(3B-2C)(A^{t}-I)=\begin{pmatrix}8&-1&-2\\ -9&8&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&2&2\\ -1&-1&1\\ 0&3&-2\end{pmatrix}$

Elemento a elemento, la primera fila da

$(0+1+0,\;16+1-6,\;16-1+4)=(1,11,19)$

y la segunda

$(0-8+0,\;-18-8-3,\;-18+8+2)=(-8,-29,-8)$

$(3B-2C)(A^{t}-I)=\begin{pmatrix}1&11&19\\ -8&-29&-8\end{pmatrix}$