Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2023

Considere la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & a \\ 2 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}$ en función del parámetro $a \in \mathbb{R}$.

a) Calcule el determinante de $A$ en función del parámetro $a$. [0,5 puntos]

b) Calcule el rango de $A$ en función del parámetro $a$. [0,75 puntos]

c) Determine para qué valores de $a$ la matriz $A$ tiene inversa. [0,5 puntos]

d) Sea $B$ el conjunto de los $a \in \mathbb{R}$ tales que $A$ tiene inversa. Calcule la inversa de $A$ para los diferentes valores del parámetro $a \in B$. [0,75 puntos]

$\textbf{a) Calcule el determinante de } \boldsymbol{A}\textbf{ en función del parámetro } \boldsymbol{a}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Aplicamos la regla de Sarrus.

$|A|=\begin{vmatrix}1&-1&a\\ 2&0&3\\ 2&1&-1\end{vmatrix}=0-6+2a-0-3-2$

$|A|=2a-11$

$\textbf{b) Calcule el rango de } \boldsymbol{A}\textbf{ en función del parámetro } \boldsymbol{a}\textbf{. [0,75 puntos]}$

Igualamos el determinante a cero para localizar el valor conflictivo.

$2a-11=0\Rightarrow a=\dfrac{11}{2}$

Si $a\neq\dfrac{11}{2}$, entonces $|A|\neq0$ y las tres filas son independientes:

$\operatorname{ran}(A)=3$

Si $a=\dfrac{11}{2}$, el determinante se anula, pero el menor formado por las dos primeras filas y las dos primeras columnas no:

$\begin{vmatrix}1&-1\\ 2&0\end{vmatrix}=0+2=2\neq0\Rightarrow \operatorname{ran}(A)=2$

$\textbf{c) Determine para qué valores de } \boldsymbol{a}\textbf{ la matriz } \boldsymbol{A}\textbf{ tiene inversa. [0,5 puntos]}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si es regular, es decir, si su determinante no se anula.

$|A|=2a-11\neq0\Rightarrow a\neq\dfrac{11}{2}$

La matriz $A$ tiene inversa para todo $a\in\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{11}{2}\right\}$, que es el conjunto $B$ del apartado siguiente.

$\textbf{d) Sea } \boldsymbol{B}\textbf{ el conjunto de los } \boldsymbol{a \in \mathbb{R}}\textbf{ tales que } \boldsymbol{A}\textbf{ tiene inversa. Calcule la inversa de } \boldsymbol{A}\textbf{ para los diferentes valores del parámetro } \boldsymbol{a \in B}\textbf{. [0,75 puntos]}$

Usamos la adjunta de la traspuesta, que es lo que da directamente la inversa.

$A^{t}=\begin{pmatrix}1&2&2\\ -1&0&1\\ a&3&-1\end{pmatrix}$

$\operatorname{Adj}(A^{t})=\begin{pmatrix}-3&a-1&-3\\ 8&-2a-1&2a-3\\ 2&-3&2\end{pmatrix}$

$A^{-1}=\dfrac{\operatorname{Adj}(A^{t})}{|A|}=\dfrac{1}{2a-11}\begin{pmatrix}-3&a-1&-3\\ 8&-2a-1&2a-3\\ 2&-3&2\end{pmatrix}$

Esta expresión vale para todo $a\in B$. Como comprobación, con $a=0$ resulta $|A|=-11$ y

$A^{-1}=-\dfrac{1}{11}\begin{pmatrix}-3&-1&-3\\ 8&-1&-3\\ 2&-3&2\end{pmatrix}$

cuyo producto por $A$ devuelve la matriz identidad.