Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2024

Considere la matriz $A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 2 \\ 0 & -2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & a & 3 \end{pmatrix}$ en función del parámetro $a \in \mathbb{R}$. Razone cuál es el rango de $A$. [2,5 puntos]

$\textbf{Razone cuál es el rango de } \boldsymbol{A}\textbf{. [2,5 puntos]}$

La matriz es cuadrada de orden $4$, así que su rango es $4$ siempre que su determinante no se anule. Empezamos, pues, calculándolo; lo desarrollamos por la cuarta columna, que solo tiene dos elementos no nulos.

$|A|=\begin{vmatrix}a&1&1&0\\ 1&-1&0&2\\ 0&-2&1&0\\ 1&1&a&3\end{vmatrix}=2\begin{vmatrix}a&1&1\\ 0&-2&1\\ 1&1&a\end{vmatrix}+3\begin{vmatrix}a&1&1\\ 1&-1&0\\ 0&-2&1\end{vmatrix}$

Los dos menores de orden tres valen

$\begin{vmatrix}a&1&1\\ 0&-2&1\\ 1&1&a\end{vmatrix}=-2a^2+1+0+2-a-0=-2a^2-a+3$

$\begin{vmatrix}a&1&1\\ 1&-1&0\\ 0&-2&1\end{vmatrix}=-a+0-2+0-0-1=-a-3$

y sustituyendo:

$|A|=2(-2a^2-a+3)+3(-a-3)=-4a^2-5a-3$

Igualamos el determinante a cero para localizar los valores conflictivos del parámetro.

$-4a^2-5a-3=0\Rightarrow 4a^2+5a+3=0\Rightarrow a=\dfrac{-5\pm\sqrt{25-48}}{8}$

$\Delta=25-4\cdot4\cdot3=-23<0$

El discriminante es negativo, de modo que la ecuación no tiene ninguna raíz real: no hay ningún valor real del parámetro que anule el determinante. Se ve además el signo, porque al ser $\Delta<0$ y el coeficiente principal $-4<0$, la parábola queda entera por debajo del eje:

$|A|=-4a^2-5a-3<0\quad\forall a\in\mathbb{R}$

Como $|A|\neq0$ cualquiera que sea $a$, las cuatro filas son linealmente independientes.

El rango de $A$ es $4$ para todo valor real del parámetro $a$; no hay ningún caso particular que discutir.