Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2024

Considere la ecuación $AX = B$, donde $A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} -9 & 6 \\ -1 & 5 \\ 2 & -5 \end{pmatrix}$.

a) Calcule el determinante de $A$. [0,25 puntos]

b) Razone si $A$ tiene inversa y, en caso afirmativo, calcule la inversa de $A$. [1 punto]

c) Determine el número de filas y de columnas de $X$ para que la ecuación tenga sentido. [0,25 puntos]

d) Calcule el valor de $X$. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule el determinante de } \boldsymbol{A}\textbf{. [0,25 puntos]}$

Desarrollamos por la tercera columna, que solo tiene un elemento no nulo.

$|A|=\begin{vmatrix}-1&1&1\\ 1&-1&0\\ -2&1&0\end{vmatrix}=1\cdot(-1)^{1+3}\begin{vmatrix}1&-1\\ -2&1\end{vmatrix}=1-2=-1$

El determinante de $A$ vale $-1$.

$\textbf{b) Razone si } \boldsymbol{A}\textbf{ tiene inversa y, en caso afirmativo, calcule la inversa de } \boldsymbol{A}\textbf{. [1 punto]}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. Como $|A|=-1\neq0$, la matriz $A$ es regular y existe $A^{-1}$. La calculamos con la adjunta de la traspuesta.

$A^{t}=\begin{pmatrix}-1&1&-2\\ 1&-1&1\\ 1&0&0\end{pmatrix}$

$\operatorname{Adj}(A^{t})=\begin{pmatrix}0&1&1\\ 0&2&1\\ -1&-1&0\end{pmatrix}$

$A^{-1}=\dfrac{\operatorname{Adj}(A^{t})}{|A|}=\dfrac{1}{-1}\begin{pmatrix}0&1&1\\ 0&2&1\\ -1&-1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-1&-1\\ 0&-2&-1\\ 1&1&0\end{pmatrix}$

$\textbf{c) Determine el número de filas y de columnas de } \boldsymbol{X}\textbf{ para que la ecuación tenga sentido. [0,25 puntos]}$

Para que el producto $AX$ esté definido, $X$ debe tener tantas filas como columnas tiene $A$; y para que el resultado sea $B$, tantas columnas como $B$.

$A_{3\times3}\cdot X_{3\times2}=B_{3\times2}$

La matriz $X$ tiene $3$ filas y $2$ columnas.

$\textbf{d) Calcule el valor de } \boldsymbol{X}\textbf{. [1 punto]}$

Multiplicamos la ecuación por $A^{-1}$ por la izquierda, que es el lado por el que $A$ multiplica a $X$.

$AX=B\Rightarrow A^{-1}AX=A^{-1}B\Rightarrow X=A^{-1}B$

$X=\begin{pmatrix}0&-1&-1\\ 0&-2&-1\\ 1&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-9&6\\ -1&5\\ 2&-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&0\\ 0&-5\\ -10&11\end{pmatrix}$

La solución de la ecuación matricial es $X=\begin{pmatrix}-1&0\\ 0&-5\\ -10&11\end{pmatrix}$.