Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Aragón · 2026

Sean $A$, $M$ y $N$ tres matrices cuadradas de tamaño $4 \times 4$ que satisfacen la condición

$M \cdot A = I + N \cdot A,$

donde $I$ es la matriz identidad de orden 4.

a) Justifica que $A$ es regular. [1 punto]

b) Si $M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1/2 & 1/2 & \sqrt{3} & 0 \\ 1/3 & 5 & 0 & -1 \\ \pi & 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}$ y $N = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 & 2 \\ 1/2 & -1/2 & \sqrt{3} & 1 \\ 1/3 & 5 & -1 & 0 \\ \pi & 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}$, calcula $A^{-1}$. [1 punto]

$\textbf{a) Justifica que } \boldsymbol{A}\textbf{ es regular. [1 punto]}$

Una matriz cuadrada es regular cuando su determinante no es nulo. La condición del enunciado permite despejar el producto de dos matrices que da la identidad, y de ahí sale el determinante buscado sin conocer $A$.

$M\cdot A=I+N\cdot A$

$M\cdot A-N\cdot A=I$

Sacamos $A$ como factor común por la derecha, que es donde aparece en los dos sumandos:

$(M-N)\cdot A=I$

Tomamos determinantes en los dos miembros y usamos que el determinante de un producto es el producto de los determinantes:

$|M-N|\cdot|A|=|I|=1$

Si $|A|$ fuese 0, el primer miembro sería 0 y la igualdad no podría cumplirse. Por tanto

$|A|\neq0\ \Rightarrow\ A\ \text{es regular}$

Además, la igualdad $(M-N)A=I$ identifica directamente la inversa: $A^{-1}=M-N$.

$\textbf{b) Si } \boldsymbol{M}\textbf{ y } \boldsymbol{N}\textbf{ son las matrices del enunciado, calcula } \boldsymbol{A^{-1}}\textbf{. [1 punto]}$

Por el apartado anterior no hay que invertir nada: la inversa de $A$ es la diferencia de las dos matrices que da el enunciado, y se calcula restando elemento a elemento.

$A^{-1}=M-N=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1/2 & 1/2 & \sqrt{3} & 0 \\ 1/3 & 5 & 0 & -1 \\ \pi & 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 & 2 \\ 1/2 & -1/2 & \sqrt{3} & 1 \\ 1/3 & 5 & -1 & 0 \\ \pi & 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

$A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Las raíces y el número $\pi$ desaparecen al restar, y queda una matriz triangular superior cuyo determinante es el producto de la diagonal:

$\left|A^{-1}\right|=1\cdot1\cdot1\cdot1=1\neq0$

lo que confirma lo demostrado en el apartado a). La inversa pedida es la matriz triangular anterior.