Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Aragón · 2026

En un ecosistema interactúan tres especies que llamaremos A, B y C. La población de cada especie en el mes $k$ viene dada por $a_{k}$, $b_{k}$ y $c_{k}$, respectivamente. La evolución de sus poblaciones puede modelizarse mediante la relación existente entre las poblaciones en un mes $k + 1$ y en el mes anterior, $k$:

$\begin{pmatrix} a_{k+1} \\ b_{k+1} \\ c_{k+1} \end{pmatrix} = M \begin{pmatrix} a_{k} \\ b_{k} \\ c_{k} \end{pmatrix} \quad \text{con } M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$

a) Si en el instante inicial ($k = 0$) hay 100 ejemplares de la especie A, 124 de la especie B y 234 de la especie C, ¿cuántos ejemplares hay de cada especie dos meses después? [0,5 puntos]

b) Razona (sin calcular $M^{k}$) que se cumple la siguiente relación

$\begin{pmatrix} a_{k} \\ b_{k} \\ c_{k} \end{pmatrix} = M^{k} \begin{pmatrix} a_{0} \\ b_{0} \\ c_{0} \end{pmatrix},$

donde $a_{0}$, $b_{0}$ y $c_{0}$ son el número de ejemplares de cada especie en el instante inicial. [0,5 puntos]

c) Calcula $M^{k}$ con $k \in \mathbb{N}$. ¿Qué ocurrirá con el número de ejemplares de cada una de las especies con el paso del tiempo? [1 punto]

$\textbf{a) Si en el instante inicial (}\boldsymbol{k = 0}\textbf{) hay 100 ejemplares de la especie A, 124 de la especie B y 234 de la especie C, ¿cuántos ejemplares hay de cada especie dos meses después? [0,5 puntos]}$

La matriz $M$ transforma la población de un mes en la del mes siguiente, de modo que basta aplicarla dos veces seguidas, partiendo de los datos del instante inicial.

$\begin{pmatrix} a_{1} \\ b_{1} \\ c_{1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 100 \\ 124 \\ 234 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 100 \\ 100+124 \\ 100+234 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 100 \\ 224 \\ 334 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} a_{2} \\ b_{2} \\ c_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 100 \\ 224 \\ 334 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 100 \\ 100+224 \\ 100+334 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 100 \\ 324 \\ 434 \end{pmatrix}$

Dos meses después hay 100 ejemplares de la especie A, 324 de la especie B y 434 de la especie C.

$\textbf{b) Razona (sin calcular } \boldsymbol{M^{k}}\textbf{) que se cumple la siguiente relación [0,5 puntos]}$

La relación del enunciado es una fórmula de recurrencia: cada población se obtiene de la del mes anterior multiplicando por $M$. Basta entonces ir sustituyendo hacia atrás y agrupar los factores, cosa que permite la propiedad asociativa del producto de matrices.

$\begin{pmatrix} a_{k} \\ b_{k} \\ c_{k} \end{pmatrix} = M\begin{pmatrix} a_{k-1} \\ b_{k-1} \\ c_{k-1} \end{pmatrix} = M\left[M\begin{pmatrix} a_{k-2} \\ b_{k-2} \\ c_{k-2} \end{pmatrix}\right] = M^{2}\begin{pmatrix} a_{k-2} \\ b_{k-2} \\ c_{k-2} \end{pmatrix}$

Repitiendo el mismo paso, cada vez que se retrocede un mes aparece un factor $M$ más y el subíndice baja en una unidad. Tras $k$ pasos se llega al instante inicial:

$\begin{pmatrix} a_{k} \\ b_{k} \\ c_{k} \end{pmatrix} = M^{k}\begin{pmatrix} a_{0} \\ b_{0} \\ c_{0} \end{pmatrix}$

Formalmente es una demostración por inducción: la igualdad es cierta para $k=1$ (es la propia definición del modelo) y, si se supone cierta para $k$, entonces para $k+1$ se tiene $v_{k+1}=Mv_{k}=M\left(M^{k}v_{0}\right)=M^{k+1}v_{0}$.

$\textbf{c) Calcula } \boldsymbol{M^{k}}\textbf{ con } \boldsymbol{k \in \mathbb{N}}\textbf{. ¿Qué ocurrirá con el número de ejemplares de cada una de las especies con el paso del tiempo? [1 punto]}$

Calculamos las primeras potencias, observamos la ley de formación y la demostramos por inducción.

$M^{2} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$M^{3} = M^{2}\cdot M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Todo apunta a que la única diferencia con la identidad son los dos unos de la primera columna, que se van acumulando:

$M^{k} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ k & 1 & 0 \\ k & 0 & 1 \end{pmatrix},\qquad k\in\mathbb{N}$

Lo comprobamos suponiéndolo cierto para $k$ y multiplicando una vez más:

$M^{k}\cdot M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ k & 1 & 0 \\ k & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ k+1 & 1 & 0 \\ k+1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = M^{k+1}$

Con la expresión de $M^{k}$ y el apartado b) obtenemos las tres poblaciones en el mes $k$:

$\begin{pmatrix} a_{k} \\ b_{k} \\ c_{k} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ k & 1 & 0 \\ k & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_{0} \\ b_{0} \\ c_{0} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{0} \\ k\,a_{0}+b_{0} \\ k\,a_{0}+c_{0} \end{pmatrix}$

$\displaystyle\lim_{k\to\infty}a_{k}=a_{0},\qquad \displaystyle\lim_{k\to\infty}b_{k}=\displaystyle\lim_{k\to\infty}c_{k}=+\infty$

La especie A mantiene indefinidamente su población inicial, mientras que las especies B y C crecen sin límite, ganando cada mes tantos ejemplares como individuos tiene la especie A. Con los datos del apartado a), A se queda siempre en 100 ejemplares y B y C aumentan en 100 cada mes.