Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Aragón · 2025

Sea $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$.

a) Estudia si existen matrices columna no nulas $B$ y $C$ tales que

$\begin{cases} A \cdot B = -B, \\ A \cdot C = B - C. \end{cases}$

En caso afirmativo, calcula la expresión general de dichas matrices $B$ y $C$. [1,5 puntos]

b) Sea $D$ una matriz columna no nula tal que $A \cdot D = D$. Demuestra que también se cumple $A^{-1} \cdot D = D$. [1 punto]

$\textbf{a) Estudia si existen matrices columna no nulas } \boldsymbol{B}\textbf{ y } \boldsymbol{C}\textbf{ tales que se cumplan las dos condiciones. En caso afirmativo, calcula la expresión general de dichas matrices } \boldsymbol{B}\textbf{ y } \boldsymbol{C}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Las dos condiciones son ecuaciones matriciales que, pasando todo al primer miembro, se convierten en sistemas homogéneos o casi homogéneos. Empezamos por la primera, que solo involucra a $B$.

$A\cdot B=-B\ \Rightarrow\ A\cdot B+B=0\ \Rightarrow\ (A+I)\cdot B=0$

$A+I=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Llamando $B=\left(b_{1},b_{2},b_{3},b_{4}\right)^{t}$, el sistema homogéneo que resulta es

$\begin{cases} 2b_{1}+b_{2}=0 \\ 2b_{2}=0 \\ b_{4}=0 \end{cases}\ \Rightarrow\ \begin{cases} b_{2}=0 \\ b_{1}=0 \\ b_{4}=0 \end{cases}$

La incógnita $b_{3}$ no aparece en ninguna ecuación, de modo que queda libre. Existen, por tanto, infinitas soluciones no nulas:

$B=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \beta \\ 0 \end{pmatrix},\qquad \beta\in\mathbb{R},\ \beta\neq0$

Pasamos a la segunda condición, que ya no es homogénea porque en el segundo miembro aparece $B$:

$A\cdot C=B-C\ \Rightarrow\ A\cdot C+C=B\ \Rightarrow\ (A+I)\cdot C=B$

$\begin{cases} 2c_{1}+c_{2}=0 \\ 2c_{2}=0 \\ c_{4}=\beta \\ 0=0 \end{cases}\ \Rightarrow\ \begin{cases} c_{2}=0 \\ c_{1}=0 \\ c_{4}=\beta \end{cases}$

La cuarta ecuación se reduce a $0=0$ precisamente porque la última componente de $B$ es nula, así que el sistema es compatible y $c_{3}$ vuelve a quedar libre:

$C=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \gamma \\ \beta \end{pmatrix},\qquad \gamma\in\mathbb{R}$

Comprobamos el resultado en la segunda condición:

$A\cdot C=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -\gamma+\beta \\ -\beta \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \beta \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \gamma \\ \beta \end{pmatrix}=B-C$

Sí existen matrices columna no nulas en esas condiciones: todas las de la forma anterior, con $\beta\neq0$ para que $B$ no sea la matriz nula y $\gamma$ cualquier número real.

$\textbf{b) Sea } \boldsymbol{D}\textbf{ una matriz columna no nula tal que } \boldsymbol{A \cdot D = D}\textbf{. Demuestra que también se cumple } \boldsymbol{A^{-1} \cdot D = D}\textbf{. [1 punto]}$

Para poder escribir $A^{-1}$ hay que asegurarse antes de que existe. La matriz $A$ es triangular por bloques y su determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal:

$|A|=1\cdot1\cdot(-1)\cdot(-1)=1\neq0$

luego $A$ es regular y tiene inversa. Partimos de la igualdad del enunciado y multiplicamos los dos miembros por $A^{-1}$ por la izquierda:

$A\cdot D=D$

$A^{-1}\cdot(A\cdot D)=A^{-1}\cdot D$

Por la propiedad asociativa del producto de matrices y por la definición de matriz inversa:

$\left(A^{-1}\cdot A\right)\cdot D=A^{-1}\cdot D\ \Rightarrow\ I\cdot D=A^{-1}\cdot D\ \Rightarrow\ D=A^{-1}\cdot D$

que es lo que había que demostrar. Nótese que el razonamiento no usa la expresión concreta de $D$: vale para cualquier matriz columna que cumpla $A\cdot D=D$, y lo único imprescindible es que $A$ sea regular.