Ejercicio resuelto de Volúmenes · Matemáticas II · Aragón · 2025

Se quiere construir una estructura con forma de tetraedro cuya base tiene como vértices los puntos $A(0, 0, 0)$, $B(2, 0, 1/2)$ y $C(3/2, 3, 1)$ y el vértice superior, $D$, se encuentra en una viga recta entre los puntos $E(0, 1, 3)$ y $F(3, 2, 3)$ (es decir, $D = E + \lambda\,\overrightarrow{EF}$ con $\lambda \in [0, 1]$).

a) Calcula el volumen máximo de dicha estructura (todos los datos están dados en metros). [1,5 puntos]

b) Teniendo en cuenta que el volumen de una pirámide es un tercio del área de la base por la altura, calcula la altura de la estructura (desde $D$ a la base) si tomásemos $\lambda = 1$. [1 punto]

$\textbf{a) Calcula el volumen máximo de dicha estructura (todos los datos están dados en metros). [1,5 puntos]}$

El volumen del tetraedro es la sexta parte del valor absoluto del producto mixto de las tres aristas que concurren en un vértice. Escribimos primero el vértice $D$ en función del parámetro y después los tres vectores que salen de $A$.











$\overrightarrow{EF}=(3,2,3)-(0,1,3)=(3,1,0)$

$D=E+\lambda\overrightarrow{EF}=(3\lambda,\,1+\lambda,\,3),\qquad \lambda\in[0,1]$

$\overrightarrow{AB}=\left(2,0,\tfrac{1}{2}\right),\quad \overrightarrow{AC}=\left(\tfrac{3}{2},3,1\right)$

$\overrightarrow{AD}=(3\lambda,\,1+\lambda,\,3)$





Calculamos el producto mixto desarrollando el determinante por la primera fila:

$\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right]=\begin{vmatrix} 2 & 0 & \tfrac{1}{2} \\ \tfrac{3}{2} & 3 & 1 \\ 3\lambda & 1+\lambda & 3 \end{vmatrix}$

$=2\left[9-(1+\lambda)\right]-0+\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{3}{2}(1+\lambda)-9\lambda\right]$

$=2(8-\lambda)+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{3}{2}-\dfrac{15\lambda}{2}\right)=16-2\lambda+\dfrac{3}{4}-\dfrac{15\lambda}{4}=\dfrac{67-23\lambda}{4}$

El producto mixto es una función lineal decreciente de $\lambda$. En los extremos del intervalo vale

$\lambda=0:\ \dfrac{67}{4}=16{,}75>0,\qquad \lambda=1:\ \dfrac{67-23}{4}=11>0$

así que es positivo en todo $[0,1]$ y el valor absoluto no cambia nada. El volumen es entonces

$V(\lambda)=\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{67-23\lambda}{4}=\dfrac{67-23\lambda}{24},\qquad \lambda\in[0,1]$

y, al ser decreciente, alcanza su máximo en el extremo izquierdo del intervalo:

$V_{\text{máx}}=V(0)=\dfrac{67}{24}\approx2{,}79\ \text{m}^{3}$

El volumen máximo se consigue colocando el vértice superior en el punto $E(0,1,3)$ y vale $\frac{67}{24}\approx2{,}79$ metros cúbicos.

$\textbf{b) Teniendo en cuenta que el volumen de una pirámide es un tercio del área de la base por la altura, calcula la altura de la estructura (desde } \boldsymbol{D}\textbf{ a la base) si tomásemos } \boldsymbol{\lambda = 1}\textbf{. [1 punto]}$

Con $\lambda=1$ el vértice superior es $D=F(3,2,3)$ y el volumen sale del apartado anterior sin más que sustituir. Para despejar la altura hace falta además el área de la base, que es la mitad del módulo del producto vectorial de dos de sus lados.

$V=\dfrac{67-23}{24}=\dfrac{44}{24}=\dfrac{11}{6}\ \text{m}^{3}$

$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 2 & 0 & \tfrac{1}{2} \\ \tfrac{3}{2} & 3 & 1 \end{vmatrix}=\left(0-\dfrac{3}{2}\right)\vec i-\left(2-\dfrac{3}{4}\right)\vec j+(6-0)\vec k=\left(-\dfrac{3}{2},-\dfrac{5}{4},6\right)$

$\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{\dfrac{9}{4}+\dfrac{25}{16}+36}=\sqrt{\dfrac{637}{16}}=\dfrac{7\sqrt{13}}{4}$

$A_{\text{base}}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{7\sqrt{13}}{4}=\dfrac{7\sqrt{13}}{8}\ \text{m}^{2}$

Despejamos la altura en la fórmula del volumen de la pirámide:

$V=\dfrac{1}{3}A_{\text{base}}\,h\ \Rightarrow\ h=\dfrac{3V}{A_{\text{base}}}=\dfrac{3\cdot\dfrac{11}{6}}{\dfrac{7\sqrt{13}}{8}}=\dfrac{11}{2}\cdot\dfrac{8}{7\sqrt{13}}=\dfrac{44}{7\sqrt{13}}$

$h=\dfrac{44\sqrt{13}}{91}\approx1{,}74\ \text{m}$

Con $\lambda=1$ la estructura tiene una altura de $\frac{44\sqrt{13}}{91}\approx1{,}74$ metros desde el vértice $D$ hasta el plano de la base.