Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Aragón · 2025

Queremos encriptar el mensaje “HOLA” con un sistema de encriptado que consta de los siguientes pasos:

Paso 1: Convertimos cada carácter del mensaje a encriptar (en nuestro caso la palabra “HOLA”) en un número según la tabla siguiente:

A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L	M	N	Ñ	O	P	Q	R	S	T	U	V	W	X	Y	Z 1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27

Paso 2: Construimos una matriz columna, $M_{c}$, con los cuatro números obtenidos en el paso anterior.

Paso 3: Multiplicamos la matriz de encriptado,

$M_{E} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$

por la matriz $M_{c}$ obtenida en el paso anterior.

El resultado del último paso, $M_{final}$, es el mensaje encriptado.

a) Obtén el mensaje encriptado al que se llega a partir del mensaje “HOLA” inicial. [0,5 puntos]

b) Explica cómo podríamos realizar el proceso de desencriptado para recuperar un mensaje a partir de un mensaje encriptado recibido. [0,5 puntos]

c) Si hemos obtenido el mensaje encriptado $M_{final} = \begin{pmatrix} 30 \\ -21 \\ -25 \\ -16 \end{pmatrix}$ con el proceso descrito arriba, ¿cuál es el mensaje original? [1 punto]

d) Si quisiéramos utilizar otra matriz de encriptado, del mismo tamaño que $M_{E}$, ¿qué condición debería cumplir dicha matriz para poder realizar el proceso completo de encriptado y desencriptado sin problemas? [0,5 puntos]

$\textbf{a) Obtén el mensaje encriptado al que se llega a partir del mensaje “HOLA” inicial. [0,5 puntos]}$

Seguimos los tres pasos del enunciado. Con la tabla, las cuatro letras de “HOLA” se convierten en H = 8, O = 16, L = 12 y A = 1, que colocamos en una matriz columna.

$M_{c}=\begin{pmatrix} 8 \\ 16 \\ 12 \\ 1 \end{pmatrix}$

$M_{final}=M_{E}\cdot M_{c}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 8 \\ 16 \\ 12 \\ 1 \end{pmatrix}$

Multiplicamos fila por columna:

$M_{final}=\begin{pmatrix} 8+16+12+1 \\ -8+0-12-1 \\ -8-16+0-1 \\ -8-16-12+0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 37 \\ -21 \\ -25 \\ -36 \end{pmatrix}$

El mensaje “HOLA” se encripta como la matriz columna de términos 37, $-21$, $-25$ y $-36$.

$\textbf{b) Explica cómo podríamos realizar el proceso de desencriptado para recuperar un mensaje a partir de un mensaje encriptado recibido. [0,5 puntos]}$

Desencriptar es deshacer el paso 3, es decir, recuperar $M_{c}$ a partir de $M_{final}$. La relación entre las dos matrices es una ecuación matricial:

$M_{E}\cdot M_{c}=M_{final}$

que, mirada por componentes, es un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas: los cuatro números del mensaje original. Como

$|M_{E}|=1\neq0$

la matriz $M_{E}$ es regular y tiene inversa; multiplicando por ella por la izquierda se despeja la matriz buscada:

$M_{E}^{-1}\cdot M_{E}\cdot M_{c}=M_{E}^{-1}\cdot M_{final}\ \Rightarrow\ M_{c}=M_{E}^{-1}\cdot M_{final}$

Obtenida $M_{c}$, se lee la tabla al revés: cada uno de sus cuatro números se sustituye por la letra que le corresponde y se recompone la palabra. En la práctica da igual resolver el sistema por Gauss, por Cramer o multiplicando por la inversa; lo esencial es que $M_{E}$ sea regular para que el resultado sea único.

$\textbf{c) Si hemos obtenido el mensaje encriptado }\boldsymbol{M_{final}}\textbf{ del enunciado con el proceso descrito arriba, ¿cuál es el mensaje original? [1 punto]}$

Planteamos el sistema del apartado anterior con los datos que da el enunciado. Llamando $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$ y $x_{4}$ a los cuatro números del mensaje original:

$\begin{cases} x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=30 \\ -x_{1}-x_{3}-x_{4}=-21 \\ -x_{1}-x_{2}-x_{4}=-25 \\ -x_{1}-x_{2}-x_{3}=-16 \end{cases}$

La estructura del sistema permite resolverlo de un modo muy directo: si a cada una de las tres últimas ecuaciones le sumamos la primera, se cancelan todas las incógnitas menos una.

$1^{\text{a}}+2^{\text{a}}:\quad x_{2}=30-21=9$

$1^{\text{a}}+3^{\text{a}}:\quad x_{3}=30-25=5$

$1^{\text{a}}+4^{\text{a}}:\quad x_{4}=30-16=14$

Sustituyendo en la primera ecuación se obtiene la incógnita que falta:

$x_{1}=30-9-5-14=2$

$M_{c}=\begin{pmatrix} 2 \\ 9 \\ 5 \\ 14 \end{pmatrix}$

Volvemos por último a la tabla de conversión: 2 = B, 9 = I, 5 = E y 14 = N.

El mensaje original era “BIEN”.

$\textbf{d) Si quisiéramos utilizar otra matriz de encriptado, del mismo tamaño que } \boldsymbol{M_{E}}\textbf{, ¿qué condición debería cumplir dicha matriz para poder realizar el proceso completo de encriptado y desencriptado sin problemas? [0,5 puntos]}$

Encriptar se puede hacer con cualquier matriz cuadrada de orden 4, porque solo consiste en multiplicar. El problema está en el otro sentido: desencriptar exige que el sistema $M\cdot M_{c}=M_{final}$ tenga una única solución, ya que un mensaje encriptado debe corresponder a un solo mensaje original.

$|M|\neq0$

Si el determinante fuese nulo, el sistema sería incompatible o compatible indeterminado: en el primer caso no se podría recuperar nada y en el segundo habría infinitos mensajes originales distintos que se encriptarían igual, de modo que el receptor no sabría cuál es el suyo.

La condición es que la nueva matriz de encriptado sea regular, es decir, que su determinante no se anule, o lo que es lo mismo, que tenga inversa.