Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Aragón · 2020

Resuelva la ecuación matricial $XA + XA^{t} = B$, siendo

$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 3 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

[2 puntos]

La incógnita aparece en los dos sumandos y siempre multiplicada por la derecha, así que se puede sacar factor común por la izquierda y reducir la ecuación a una sola multiplicación.

$XA+XA^{t}=B\ \Rightarrow\ X\left(A+A^{t}\right)=B$

Para despejar $X$ hay que multiplicar por la inversa de $A+A^{t}$ por la derecha, que es el lado por el que multiplica a la incógnita.

$A^{t}=\begin{pmatrix}1&0&-1\\-1&1&-1\\0&2&0\end{pmatrix}\ \Rightarrow\ A+A^{t}=\begin{pmatrix}2&-1&-1\\-1&2&1\\-1&1&0\end{pmatrix}$

Llamamos $S=A+A^{t}$ y comprobamos que es invertible:

$|S|=\begin{vmatrix}2&-1&-1\\-1&2&1\\-1&1&0\end{vmatrix}=0+1+1-2-2+0=-2\neq0$

$\operatorname{Adj}(S)=\begin{pmatrix}-1&-1&1\\-1&-1&-1\\1&-1&3\end{pmatrix}$

$S^{-1}=\dfrac{1}{|S|}\left[\operatorname{Adj}(S)\right]^{T}=-\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}-1&-1&1\\-1&-1&-1\\1&-1&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\end{pmatrix}$

(La matriz $S$ es simétrica, y por eso su adjunta también lo es.)

$X=B\,S^{-1}=\begin{pmatrix}0&1&-1\\3&0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&2\\2&1&0\end{pmatrix}$

Comprobamos el resultado:

$X\left(A+A^{t}\right)=\begin{pmatrix}1&0&2\\2&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&-1&-1\\-1&2&1\\-1&1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1&-1\\3&0&-1\end{pmatrix}=B$

La solución de la ecuación matricial es $X=\begin{pmatrix}1&0&2\\2&1&0\end{pmatrix}$.