Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Aragón · 2020

Resuelva el sistema matricial

$\begin{cases} X - 2Y = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 3 \\ 0 & -2 & 0 \end{pmatrix} \\[3ex] 2X + 3Y = \begin{pmatrix} 7 & 6 & -1 \\ 14 & 3 & 7 \end{pmatrix} \end{cases}$

[2 puntos]

Es un sistema de dos ecuaciones matriciales con dos incógnitas, $X$ e $Y$, que se resuelve igual que un sistema numérico: las matrices se suman y se multiplican por escalares con las mismas reglas. Todas las matrices que aparecen son de orden $2\times3$, así que $X$ e $Y$ también lo serán.

$\begin{cases}X-2Y=M_{1}\\2X+3Y=M_{2}\end{cases}\qquad M_{1}=\begin{pmatrix}0&3&3\\0&-2&0\end{pmatrix},\quad M_{2}=\begin{pmatrix}7&6&-1\\14&3&7\end{pmatrix}$

La primera ecuación da $X$ despejada, así que resolvemos por sustitución:

$X=M_{1}+2Y\ \Rightarrow\ 2\left(M_{1}+2Y\right)+3Y=M_{2}\ \Rightarrow\ 7Y=M_{2}-2M_{1}$

$M_{2}-2M_{1}=\begin{pmatrix}7&6&-1\\14&3&7\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0&6&6\\0&-4&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7&0&-7\\14&7&7\end{pmatrix}$

$Y=\dfrac{1}{7}\begin{pmatrix}7&0&-7\\14&7&7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&-1\\2&1&1\end{pmatrix}$

$X=M_{1}+2Y=\begin{pmatrix}0&3&3\\0&-2&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2&0&-2\\4&2&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&3&1\\4&0&2\end{pmatrix}$

Comprobamos en la segunda ecuación:

$2X+3Y=\begin{pmatrix}4&6&2\\8&0&4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3&0&-3\\6&3&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7&6&-1\\14&3&7\end{pmatrix}=M_{2}$

Las soluciones son $X=\begin{pmatrix}2&3&1\\4&0&2\end{pmatrix}$ e $Y=\begin{pmatrix}1&0&-1\\2&1&1\end{pmatrix}$.