Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Aragón · 2020

Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$:

a) Calcule, si es posible, $\left(A \cdot B^{t}\right)^{-1}$. [1 punto]

b) Compruebe que $C^{3} = I$, donde $I$ es la matriz identidad, y calcule $C^{16}$. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule, si es posible, } \boldsymbol{\left(A \cdot B^{t}\right)^{-1}}\textbf{. [1 punto]}$

La traspuesta de $B$ es de orden $3\times2$, de modo que el producto $A\cdot B^{t}$ es de orden $2\times2$ y tiene sentido plantearse su inversa.

$B^{t}=\begin{pmatrix}0&1\\2&0\\1&1\end{pmatrix}$

$A\cdot B^{t}=\begin{pmatrix}1&0&3\\-1&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\2&0\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&4\\1&0\end{pmatrix}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no es nulo:

$\left|A\cdot B^{t}\right|=\begin{vmatrix}3&4\\1&0\end{vmatrix}=0-4=-4\neq0$

Para una matriz de orden 2 la inversa se escribe directamente intercambiando los elementos de la diagonal principal y cambiando de signo los de la secundaria, todo dividido por el determinante:

$\left(A\cdot B^{t}\right)^{-1}=\dfrac{1}{-4}\begin{pmatrix}0&-4\\-1&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\\frac{1}{4}&-\frac{3}{4}\end{pmatrix}$

Comprobamos el resultado:

$\begin{pmatrix}3&4\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\\frac{1}{4}&-\frac{3}{4}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$

$\textbf{b) Compruebe que } \boldsymbol{C^{3} = I}\textbf{, donde } \boldsymbol{I}\textbf{ es la matriz identidad, y calcule } \boldsymbol{C^{16}}\textbf{. [1 punto]}$

Se calculan las potencias sucesivas hasta llegar a la tercera.

$C^{2}=\begin{pmatrix}-1&1\\-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&1\\-1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-1&-1+0\\1+0&-1+0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-1\\1&-1\end{pmatrix}$

$C^{3}=C^{2}\cdot C=\begin{pmatrix}0&-1\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&1\\-1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I$

Que el cubo sea la identidad hace que las potencias se repitan con periodo 3, así que para calcular $C^{16}$ basta dividir el exponente entre 3 y quedarse con el resto.

$16=3\cdot5+1$

$C^{16}=C^{3\cdot5+1}=\left(C^{3}\right)^{5}\cdot C=I^{5}\cdot C=C=\begin{pmatrix}-1&1\\-1&0\end{pmatrix}$

Queda comprobado que $C^{3}=I$, y $C^{16}=C=\begin{pmatrix}-1&1\\-1&0\end{pmatrix}$.