Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Aragón · 2021

Dadas las siguientes matrices:

$B = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad C_{1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad C_{2} = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

a) Compruebe que la matriz $B$ tiene inversa y calcúlela. [1 punto]

b) Calcule la matriz $X$ que verifica la siguiente ecuación matricial: $I + BX = C_{1}C_{2}$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3. [1 punto]

$\textbf{a) Compruebe que la matriz } \boldsymbol{B}\textbf{ tiene inversa y calcúlela. [1 punto]}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no es nulo.

$|B|=\begin{vmatrix}3&-1&1\\1&1&1\\-1&1&-1\end{vmatrix}=-3+1+1+1-3-1=-4$

$|B|=-4\neq0\ \Rightarrow\ B\ \text{es invertible}$

La calculamos por el método de la matriz adjunta.

$\operatorname{Adj}(B)=\begin{pmatrix}-2&0&2\\0&-2&-2\\-2&-2&4\end{pmatrix}$

$B^{-1}=\dfrac{1}{|B|}\left[\operatorname{Adj}(B)\right]^{T}=-\dfrac{1}{4}\begin{pmatrix}-2&0&-2\\0&-2&-2\\2&-2&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&0&\frac{1}{2}\\0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&-1\end{pmatrix}$

Comprobamos el resultado:

$B\cdot B^{-1}=\begin{pmatrix}3&-1&1\\1&1&1\\-1&1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&0&\frac{1}{2}\\0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$

$\textbf{b) Calcule la matriz } \boldsymbol{X}\textbf{ que verifica la siguiente ecuación matricial: } \boldsymbol{I + BX = C_{1}C_{2}}\textbf{. [1 punto]}$

Se despeja la incógnita antes de operar. Como $X$ está multiplicada por la izquierda por $B$, se multiplica por $B^{-1}$ también por la izquierda.

$I+BX=C_{1}C_{2}\ \Rightarrow\ BX=C_{1}C_{2}-I\ \Rightarrow\ X=B^{-1}\left(C_{1}C_{2}-I\right)$

El producto $C_{1}C_{2}$ es de orden $3\times3$, como debe ser para poder restarle la identidad de orden 3.

$C_{1}C_{2}=\begin{pmatrix}1&1\\3&-1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&2&0\\3&2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&4&1\\-6&4&-1\\-1&2&0\end{pmatrix}$

$C_{1}C_{2}-I=\begin{pmatrix}2&4&1\\-6&4&-1\\-1&2&0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&4&1\\-6&3&-1\\-1&2&-1\end{pmatrix}$

$X=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&0&\frac{1}{2}\\0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&4&1\\-6&3&-1\\-1&2&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&3&0\\-\frac{7}{2}&\frac{5}{2}&-1\\-\frac{5}{2}&-\frac{5}{2}&0\end{pmatrix}$

Comprobamos el resultado:

$BX=\begin{pmatrix}3&-1&1\\1&1&1\\-1&1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&3&0\\-\frac{7}{2}&\frac{5}{2}&-1\\-\frac{5}{2}&-\frac{5}{2}&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&4&1\\-6&3&-1\\-1&2&-1\end{pmatrix}=C_{1}C_{2}-I$

La matriz pedida es $X=\begin{pmatrix}0&3&0\\-\frac{7}{2}&\frac{5}{2}&-1\\-\frac{5}{2}&-\frac{5}{2}&0\end{pmatrix}$.