Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Aragón · 2021

Dada la siguiente matriz:

$P = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & -k & -2k \\ 1 & -k & 0 \end{pmatrix}$

a) Estudie el rango de la matriz $A = I + P$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3, según los valores de $k \in \mathbb{R}$. [1 punto]

b) Para $k = 1$, calcule la inversa de la matriz $A$ del apartado anterior. [1 punto]

$\textbf{a) Estudie el rango de la matriz } \boldsymbol{A = I + P}\textbf{, donde } \boldsymbol{I}\textbf{ es la matriz identidad de orden 3, según los valores de } \boldsymbol{k \in \mathbb{R}}\textbf{. [1 punto]}$

Sumar la identidad equivale a sumar 1 a cada elemento de la diagonal principal.

$A=I+P=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1-k&-2k\\1&-k&1\end{pmatrix}$

Como $A$ es cuadrada de orden 3, se estudia su determinante. Restando la primera fila a las otras dos, operación que no lo altera, la primera columna queda con dos ceros:

$|A|=\begin{vmatrix}1&1&1\\0&-k&-2k-1\\0&-k-1&0\end{vmatrix}=1\cdot\begin{vmatrix}-k&-2k-1\\-k-1&0\end{vmatrix}$

$=0-(-2k-1)(-k-1)=-(2k+1)(k+1)$

$-(2k+1)(k+1)=0\ \Rightarrow\ \begin{cases}k=-\dfrac{1}{2}\\k=-1\end{cases}$

$\text{Si }k\neq-\dfrac{1}{2}\ \text{y}\ k\neq-1:\quad |A|\neq0\ \Rightarrow\ \operatorname{ran}(A)=3$

Para los dos valores que anulan el determinante se busca un menor de orden 2 no nulo.

$k=-\dfrac{1}{2}:\ A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}&1\end{pmatrix},\qquad \begin{vmatrix}1&1\\1&\frac{3}{2}\end{vmatrix}=\dfrac{1}{2}\neq0\ \Rightarrow\ \operatorname{ran}(A)=2$

$k=-1:\ A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&2\\1&1&1\end{pmatrix},\qquad \begin{vmatrix}1&1\\1&2\end{vmatrix}=1\neq0\ \Rightarrow\ \operatorname{ran}(A)=2$

En resumen: el rango de $A$ es 2 si $k=-\frac{1}{2}$ o $k=-1$, y 3 para cualquier otro valor de $k$.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{k = 1}\textbf{, calcule la inversa de la matriz } \boldsymbol{A}\textbf{ del apartado anterior. [1 punto]}$

Para $k=1$ el determinante vale $-(2+1)(1+1)=-6\neq0$, así que la matriz es invertible.

$A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&0&-2\\1&-1&1\end{pmatrix}\ ;\qquad |A|=-6$

Calculamos la inversa por el método de la matriz adjunta.

$\operatorname{Adj}(A)=\begin{pmatrix}-2&-3&-1\\-2&0&2\\-2&3&-1\end{pmatrix}$

$A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\left[\operatorname{Adj}(A)\right]^{T}=-\dfrac{1}{6}\begin{pmatrix}-2&-2&-2\\-3&0&3\\-1&2&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&0&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\end{pmatrix}$

Comprobamos el resultado:

$A\cdot A^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&0&-2\\1&-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&0&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$

La inversa pedida es la matriz obtenida.