Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Aragón · 2021

a) Resuelva el siguiente sistema matricial

$\begin{cases} 2X + 3Y = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 3 & 7 \end{pmatrix} \\[3ex] 3X - 2Y = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} \end{cases}$

[1 punto]

b) Calcule $\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}^{n}$, con $n \in \mathbb{N}$. [1 punto]

$\textbf{a) Resuelva el siguiente sistema matricial. [1 punto]}$

Es un sistema de dos ecuaciones matriciales con dos incógnitas, $X$ e $Y$, que se resuelve por reducción igual que un sistema numérico: las matrices se suman y se multiplican por escalares con las mismas reglas.

$\begin{cases}2X+3Y=M_{1}\\3X-2Y=M_{2}\end{cases}\qquad M_{1}=\begin{pmatrix}-1&2\\3&7\end{pmatrix},\quad M_{2}=\begin{pmatrix}5&3\\-2&4\end{pmatrix}$

Multiplicamos la primera ecuación por 2 y la segunda por 3 para eliminar $Y$ al sumarlas:

$\begin{cases}4X+6Y=2M_{1}\\9X-6Y=3M_{2}\end{cases}\ \Rightarrow\ 13X=2M_{1}+3M_{2}$

$2M_{1}+3M_{2}=\begin{pmatrix}-2&4\\6&14\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}15&9\\-6&12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}13&13\\0&26\end{pmatrix}$

$X=\dfrac{1}{13}\begin{pmatrix}13&13\\0&26\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}$

Sustituyendo en la primera ecuación se despeja $Y$:

$3Y=M_{1}-2X=\begin{pmatrix}-1&2\\3&7\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2&2\\0&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3&0\\3&3\end{pmatrix}\ \Rightarrow\ Y=\begin{pmatrix}-1&0\\1&1\end{pmatrix}$

Comprobamos en la segunda ecuación:

$3X-2Y=\begin{pmatrix}3&3\\0&6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2&0\\2&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&3\\-2&4\end{pmatrix}=M_{2}$

Las soluciones son $X=\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}$ e $Y=\begin{pmatrix}-1&0\\1&1\end{pmatrix}$.

$\textbf{b) Calcule } \boldsymbol{\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}^{n}}\textbf{, con } \boldsymbol{n \in \mathbb{N}}\textbf{. [1 punto]}$

Se calculan las primeras potencias hasta reconocer la ley que siguen y después se demuestra por inducción.

$C=\begin{pmatrix}2&0\\-1&1\end{pmatrix}\ ;\qquad C^{2}=\begin{pmatrix}2&0\\-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&0\\-1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&0\\-3&1\end{pmatrix}$

$C^{3}=C^{2}\cdot C=\begin{pmatrix}4&0\\-3&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&0\\-1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8&0\\-7&1\end{pmatrix}$

En la esquina superior izquierda aparecen las potencias de 2, y en la inferior izquierda los valores $-1,-3,-7$, que son $1-2$, $1-4$ y $1-8$. Se conjetura, pues,

$C^{n}=\begin{pmatrix}2^{n}&0\\1-2^{n}&1\end{pmatrix}$

Lo probamos por inducción. Para $n=1$ se recupera $C$. Suponiéndolo cierto para $n$:

$C^{n+1}=C^{n}\cdot C=\begin{pmatrix}2^{n}&0\\1-2^{n}&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&0\\-1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2^{n+1}&0\\2-2^{n+1}-1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2^{n+1}&0\\1-2^{n+1}&1\end{pmatrix}$

que es la fórmula para $n+1$. Queda así probado que $C^{n}=\begin{pmatrix}2^{n}&0\\1-2^{n}&1\end{pmatrix}$ para todo $n\in\mathbb{N}$.