Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Aragón · 2021

a) Sabiendo que $\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = 5$, calcule justificadamente

$\begin{vmatrix} 2d & 2e + 2f & 2f \\ -g & -h - i & -i \\ a & b + c & c \end{vmatrix}$

[1 punto]

b) Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}$, resuelva el sistema $\left(A - \dfrac{1}{2}A^{T}\right) \cdot X = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 5 \end{pmatrix}$, donde $A^{T}$ es la matriz traspuesta de $A$. [1 punto]

$\textbf{a) Sabiendo que el determinante dado vale 5, calcule justificadamente el segundo determinante. [1 punto]}$

No hay que calcular ninguna letra: se trata de transformar el determinante pedido en el conocido usando las propiedades de los determinantes, una a una y justificando cada paso.

$\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}=5$

Empezamos sacando el factor 2 de la primera fila y el factor $-1$ de la segunda:

$\begin{vmatrix}2d&2e+2f&2f\\-g&-h-i&-i\\a&b+c&c\end{vmatrix}=2\cdot(-1)\begin{vmatrix}d&e+f&f\\g&h+i&i\\a&b+c&c\end{vmatrix}=-2\begin{vmatrix}d&e+f&f\\g&h+i&i\\a&b+c&c\end{vmatrix}$

La segunda columna es la suma de otras dos, así que restándole la tercera —operación que no altera el determinante— queda:

$C_{2}\to C_{2}-C_{3}:\qquad -2\begin{vmatrix}d&e&f\\g&h&i\\a&b&c\end{vmatrix}$

Solo falta reordenar las filas. La primera fila del determinante conocido ha pasado a ser la tercera, y eso se consigue con dos intercambios consecutivos, de modo que el signo no cambia:

$\begin{vmatrix}d&e&f\\g&h&i\\a&b&c\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}d&e&f\\a&b&c\\g&h&i\end{vmatrix}=+\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}=5$

$\begin{vmatrix}2d&2e+2f&2f\\-g&-h-i&-i\\a&b+c&c\end{vmatrix}=-2\cdot5=-10$

El determinante pedido vale $-10$.

$\textbf{b) Resuelva el sistema } \boldsymbol{\left(A - \dfrac{1}{2}A^{T}\right) \cdot X = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 5 \end{pmatrix}}\textbf{. [1 punto]}$

Se construye primero la matriz de coeficientes y después se resuelve el sistema que plantea.

$A^{T}=\begin{pmatrix}2&2&2\\0&2&0\\0&2&0\end{pmatrix}\ \Rightarrow\ \dfrac{1}{2}A^{T}=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&0\\0&1&0\end{pmatrix}$

$M=A-\dfrac{1}{2}A^{T}=\begin{pmatrix}2&0&0\\2&2&2\\2&0&0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&0\\0&1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1&-1\\2&1&2\\2&-1&0\end{pmatrix}$

$|M|=\begin{vmatrix}1&-1&-1\\2&1&2\\2&-1&0\end{vmatrix}=0-4+2-2-0+2=2\neq0$

El sistema es compatible determinado y tiene solución única. Lo resolvemos por sustitución.

$\begin{cases}x-y-z=0\\2x+y+2z=9\\2x-y=5\end{cases}$

De la primera ecuación, $x=y+z$. Sustituyendo en la tercera y en la segunda:

$2(y+z)-y=5\ \Rightarrow\ y+2z=5$

$2(y+z)+y+2z=9\ \Rightarrow\ 3y+4z=9$

Despejando $y=5-2z$ en la primera de estas dos y llevándolo a la segunda:

$3(5-2z)+4z=9\ \Rightarrow\ 15-2z=9\ \Rightarrow\ z=3$

$y=5-2\cdot3=-1\ ;\qquad x=y+z=-1+3=2$

Comprobamos en las tres ecuaciones: $2+1-3=0$, $4-1+6=9$ y $4+1=5$.

La solución del sistema es $X=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$.