Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Aragón · 2021

Dada la siguiente matriz:

$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}$

a) Estudie el rango de la matriz $A - kI$ según los valores de $k \in \mathbb{R}$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3. [1,25 puntos]

b) Calcule la inversa de $A - kI$ para $k = 0$. [0,75 puntos]

$\textbf{a) Estudie el rango de la matriz } \boldsymbol{A - kI}\textbf{ según los valores de } \boldsymbol{k \in \mathbb{R}}\textbf{, donde } \boldsymbol{I}\textbf{ es la matriz identidad de orden 3. [1,25 puntos]}$

Restar $kI$ equivale a restar $k$ a cada elemento de la diagonal principal.

$A-kI=\begin{pmatrix}-k&0&-2\\1&2-k&1\\1&0&3-k\end{pmatrix}$

La segunda columna tiene dos ceros, así que el determinante se desarrolla por ella con un solo sumando:

$|A-kI|=(2-k)\begin{vmatrix}-k&-2\\1&3-k\end{vmatrix}=(2-k)\left[-k(3-k)+2\right]=(2-k)\left(k^{2}-3k+2\right)$

$k^{2}-3k+2=(k-1)(k-2)\ \Rightarrow\ |A-kI|=-(k-2)^{2}(k-1)$

$|A-kI|=0\ \Rightarrow\ \begin{cases}k=1\\k=2\ \text{(doble)}\end{cases}$

$\text{Si }k\neq1\ \text{y}\ k\neq2:\quad |A-kI|\neq0\ \Rightarrow\ \operatorname{ran}(A-kI)=3$

$k=1:\ A-I=\begin{pmatrix}-1&0&-2\\1&1&1\\1&0&2\end{pmatrix},\qquad \begin{vmatrix}-1&0\\1&1\end{vmatrix}=-1\neq0\ \Rightarrow\ \operatorname{ran}=2$

$k=2:\ A-2I=\begin{pmatrix}-2&0&-2\\1&0&1\\1&0&1\end{pmatrix}$

Aquí las tres filas son proporcionales a $(1,0,1)$, de modo que todos los menores de orden 2 se anulan y solo queda algún elemento no nulo:

$\operatorname{ran}(A-2I)=1$

En resumen: el rango es 1 si $k=2$, 2 si $k=1$ y 3 para cualquier otro valor de $k$.

$\textbf{b) Calcule la inversa de } \boldsymbol{A - kI}\textbf{ para } \boldsymbol{k = 0}\textbf{. [0,75 puntos]}$

Para $k=0$ la matriz es la propia $A$, y por el apartado anterior su rango es 3, luego es invertible. Su determinante se obtiene sustituyendo en la expresión ya calculada:

$|A|=-(0-2)^{2}(0-1)=4\neq0$

Calculamos la inversa por el método de la matriz adjunta.

$\operatorname{Adj}(A)=\begin{pmatrix}6&-2&-2\\0&2&0\\4&-2&0\end{pmatrix}$

$A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\left[\operatorname{Adj}(A)\right]^{T}=\dfrac{1}{4}\begin{pmatrix}6&0&4\\-2&2&-2\\-2&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}&0&1\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&0&0\end{pmatrix}$

Comprobamos el resultado:

$A\cdot A^{-1}=\begin{pmatrix}0&0&-2\\1&2&1\\1&0&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}&0&1\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$

La inversa pedida es la matriz obtenida.