Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Aragón · 2022

Dadas las siguientes matrices:

$A = \begin{pmatrix} 1 - m & -1 \\ 2 & 2m \\ m - 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

a) Estudie, según los valores de $m \in \mathbb{R}$, el rango de la matriz $P = AB^{T} + C$, donde $B^{T}$ es la matriz traspuesta de $B$. [1 punto]

b) Para el valor $m = 1$, calcule la inversa de la matriz $P$ del apartado anterior. [1 punto]

$\textbf{a) Estudie, según los valores de } \boldsymbol{m \in \mathbb{R}}\textbf{, el rango de la matriz } \boldsymbol{P = AB^{T} + C}\textbf{, donde } \boldsymbol{B^{T}}\textbf{ es la matriz traspuesta de } \boldsymbol{B}\textbf{. [1 punto]}$

La traspuesta de $B$ es de orden $2\times3$, de modo que $AB^{T}$ es de orden $3\times3$ y se le puede sumar $C$.

$B^{T}=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}$

$AB^{T}=\begin{pmatrix}1-m&-1\\2&2m\\m-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-m&-1&1-m\\2&2m&2\\m-1&1&m-1\end{pmatrix}$

$P=AB^{T}+C=\begin{pmatrix}1-m&-1&1-m\\2&2m&2\\m-1&1&m-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2-m&0&2-m\\2&2m+1&3\\m-1&1&m\end{pmatrix}$

Como $P$ es cuadrada de orden 3, se estudia su determinante. La primera fila tiene iguales las columnas primera y tercera, así que conviene hacer $C_{3}\to C_{3}-C_{1}$, operación que no altera el determinante:

$|P|=\begin{vmatrix}2-m&0&2-m\\2&2m+1&3\\m-1&1&m\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2-m&0&0\\2&2m+1&1\\m-1&1&1\end{vmatrix}$

Desarrollando por la primera fila:

$|P|=(2-m)\begin{vmatrix}2m+1&1\\1&1\end{vmatrix}=(2-m)(2m+1-1)=2m(2-m)$

$2m(2-m)=0\ \Rightarrow\ \begin{cases}m=0\\m=2\end{cases}$

$\text{Si }m\neq0\ \text{y}\ m\neq2:\quad |P|\neq0\ \Rightarrow\ \operatorname{ran}(P)=3$

Para los dos valores que anulan el determinante se busca un menor de orden 2 no nulo.

$m=0:\ P=\begin{pmatrix}2&0&2\\2&1&3\\-1&1&0\end{pmatrix},\qquad \begin{vmatrix}2&0\\2&1\end{vmatrix}=2\neq0\ \Rightarrow\ \operatorname{ran}(P)=2$

$m=2:\ P=\begin{pmatrix}0&0&0\\2&5&3\\1&1&2\end{pmatrix},\qquad \begin{vmatrix}2&5\\1&1\end{vmatrix}=-3\neq0\ \Rightarrow\ \operatorname{ran}(P)=2$

En resumen: el rango de $P$ es 2 si $m=0$ o $m=2$, y 3 para cualquier otro valor de $m$.

$\textbf{b) Para el valor } \boldsymbol{m = 1}\textbf{, calcule la inversa de la matriz } \boldsymbol{P}\textbf{ del apartado anterior. [1 punto]}$

Para $m=1$ el determinante vale $2\cdot1\cdot(2-1)=2\neq0$, así que la matriz es invertible.

$P=\begin{pmatrix}1&0&1\\2&3&3\\0&1&1\end{pmatrix}\ ;\qquad |P|=2$

Calculamos la inversa por el método de la matriz adjunta.

$\operatorname{Adj}(P)=\begin{pmatrix}0&-2&2\\1&1&-1\\-3&-1&3\end{pmatrix}$

$P^{-1}=\dfrac{1}{|P|}\left[\operatorname{Adj}(P)\right]^{T}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}0&1&-3\\-2&1&-1\\2&-1&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\\-1&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\end{pmatrix}$

Comprobamos el resultado:

$P\cdot P^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&1\\2&3&3\\0&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\\-1&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$

La inversa pedida es la matriz obtenida.