Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Aragón · 2022

Dada la siguiente matriz:

$A = \begin{pmatrix} 1 & k \\ -1 & k + 1 \end{pmatrix}$

a) Determine el valor de $k \in \mathbb{R}$ para que se verifique $A^{2} = 3I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 2. [1 punto]

b) Calcule, para $k = 0$, la matriz $B^{n}$ con $B = 2A - I$, siendo $I$ la matriz identidad de orden 2, y $n \in \mathbb{N}$. [1 punto]

$\textbf{a) Determine el valor de } \boldsymbol{k \in \mathbb{R}}\textbf{ para que se verifique } \boldsymbol{A^{2} = 3I}\textbf{, donde } \boldsymbol{I}\textbf{ es la matriz identidad de orden 2. [1 punto]}$

Se calcula el cuadrado de la matriz y se iguala elemento a elemento con $3I$. Cada casilla da una ecuación, y el valor buscado ha de cumplirlas todas a la vez.

$A^{2}=\begin{pmatrix}1&k\\-1&k+1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&k\\-1&k+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-k&k^{2}+2k\\-k-2&k^{2}+k+1\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}1-k&k^{2}+2k\\-k-2&k^{2}+k+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix}$

$\begin{cases}1-k=3\ \Rightarrow\ k=-2\\ k^{2}+2k=0\ \Rightarrow\ k(k+2)=0\ \Rightarrow\ k=0\ \text{o}\ k=-2\\ -k-2=0\ \Rightarrow\ k=-2\\ k^{2}+k+1=3\ \Rightarrow\ k^{2}+k-2=0\ \Rightarrow\ k=1\ \text{o}\ k=-2\end{cases}$

El único valor que aparece en las cuatro ecuaciones es $k=-2$. Lo comprobamos:

$k=-2\ \Rightarrow\ A=\begin{pmatrix}1&-2\\-1&-1\end{pmatrix}\ \Rightarrow\ A^{2}=\begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix}=3I$

El valor pedido es $k=-2$.

$\textbf{b) Calcule, para } \boldsymbol{k = 0}\textbf{, la matriz } \boldsymbol{B^{n}}\textbf{ con } \boldsymbol{B = 2A - I}\textbf{, siendo } \boldsymbol{I}\textbf{ la matriz identidad de orden 2, y } \boldsymbol{n \in \mathbb{N}}\textbf{. [1 punto]}$

Primero se construye la matriz $B$ y después se calculan sus primeras potencias hasta reconocer el patrón.

$k=0\ \Rightarrow\ A=\begin{pmatrix}1&0\\-1&1\end{pmatrix}$

$B=2A-I=\begin{pmatrix}2&0\\-2&2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\-2&1\end{pmatrix}$

$B^{2}=\begin{pmatrix}1&0\\-2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\-2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\-4&1\end{pmatrix}$

$B^{3}=B^{2}\cdot B=\begin{pmatrix}1&0\\-4&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\-2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\-6&1\end{pmatrix}$

Solo cambia el elemento de la esquina inferior izquierda, que va tomando los valores $-2$, $-4$, $-6$: se conjetura que en la potencia $n$-ésima vale $-2n$.

$B^{n}=\begin{pmatrix}1&0\\-2n&1\end{pmatrix}$

Lo probamos por inducción. Es cierto para $n=1$, y suponiéndolo cierto para $n$:

$B^{n+1}=B^{n}\cdot B=\begin{pmatrix}1&0\\-2n&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\-2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\-2n-2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\-2(n+1)&1\end{pmatrix}$

que es la fórmula para $n+1$. Queda así probado que $B^{n}=\begin{pmatrix}1&0\\-2n&1\end{pmatrix}$ para todo $n\in\mathbb{N}$.