Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Aragón · 2022

a) Sabiendo que $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ a & b & c \end{vmatrix} = -2$, calcule justificadamente

$\begin{vmatrix} -a + 2 & -c + 2 & -b + 2 \\ \dfrac{x}{2} & \dfrac{z}{2} & \dfrac{y}{2} \\ 3 & 3 & 3 \end{vmatrix}$

[1 punto]

b) Compruebe que la matriz $B$ es invertible y calcule su inversa, siendo

$B = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -1 \end{pmatrix}$

[1 punto]

$\textbf{a) Sabiendo que el determinante dado vale } \boldsymbol{-2}\textbf{, calcule justificadamente el segundo determinante. [1 punto]}$

No se pueden calcular $x$, $y$, $z$, $a$, $b$ y $c$, ni hace falta: se trata de escribir el determinante pedido a partir del conocido usando las propiedades de los determinantes. Llamamos

$F_{1}=(1,1,1)\ ;\qquad F_{2}=(x,y,z)\ ;\qquad F_{3}=(a,b,c)\ ;\qquad \begin{vmatrix}F_{1}\\F_{2}\\F_{3}\end{vmatrix}=-2$

Empezamos sacando factores comunes de las filas segunda y tercera del determinante pedido, y descomponiendo la primera:

$\begin{vmatrix}-a+2&-c+2&-b+2\\\frac{x}{2}&\frac{z}{2}&\frac{y}{2}\\3&3&3\end{vmatrix}=\dfrac{1}{2}\cdot3\begin{vmatrix}-a+2&-c+2&-b+2\\x&z&y\\1&1&1\end{vmatrix}$

La primera fila es suma de dos, y el determinante es lineal en cada fila por separado:

$=\dfrac{3}{2}\left(\begin{vmatrix}-a&-c&-b\\x&z&y\\1&1&1\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}2&2&2\\x&z&y\\1&1&1\end{vmatrix}\right)$

El segundo sumando tiene la primera y la tercera fila proporcionales, luego es nulo. En el primero se saca el factor $-1$ de la fila:

$=\dfrac{3}{2}\cdot(-1)\begin{vmatrix}a&c&b\\x&z&y\\1&1&1\end{vmatrix}=-\dfrac{3}{2}\begin{vmatrix}a&c&b\\x&z&y\\1&1&1\end{vmatrix}$

Este determinante se obtiene del dato con dos intercambios, y cada uno cambia el signo. Primero se intercambian las columnas segunda y tercera, que devuelve el orden $(a,b,c)$ y $(x,y,z)$:

$\begin{vmatrix}a&c&b\\x&z&y\\1&1&1\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}a&b&c\\x&y&z\\1&1&1\end{vmatrix}$

Después se intercambian las filas primera y tercera, que deja el determinante conocido:

$\begin{vmatrix}a&b&c\\x&y&z\\1&1&1\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}1&1&1\\x&y&z\\a&b&c\end{vmatrix}=-(-2)=2$

$\begin{vmatrix}a&c&b\\x&z&y\\1&1&1\end{vmatrix}=-2\ \Rightarrow\ \begin{vmatrix}-a+2&-c+2&-b+2\\\frac{x}{2}&\frac{z}{2}&\frac{y}{2}\\3&3&3\end{vmatrix}=-\dfrac{3}{2}\cdot(-2)=3$

El determinante pedido vale 3.

$\textbf{b) Compruebe que la matriz } \boldsymbol{B}\textbf{ es invertible y calcule su inversa. [1 punto]}$

Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante no es nulo, así que se calcula primero.

$|B|=\begin{vmatrix}3&2&0\\0&1&-1\\5&3&-1\end{vmatrix}=-3+0-10-0+9-0=-4$

$|B|=-4\neq0\ \Rightarrow\ B\ \text{es invertible}$

La calculamos por el método de la matriz adjunta.

$\operatorname{Adj}(B)=\begin{pmatrix}2&-5&-5\\2&-3&1\\-2&3&3\end{pmatrix}$

$B^{-1}=\dfrac{1}{|B|}\left[\operatorname{Adj}(B)\right]^{T}=-\dfrac{1}{4}\begin{pmatrix}2&2&-2\\-5&-3&3\\-5&1&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{5}{4}&\frac{3}{4}&-\frac{3}{4}\\\frac{5}{4}&-\frac{1}{4}&-\frac{3}{4}\end{pmatrix}$

Comprobamos el resultado:

$B\cdot B^{-1}=\begin{pmatrix}3&2&0\\0&1&-1\\5&3&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{5}{4}&\frac{3}{4}&-\frac{3}{4}\\\frac{5}{4}&-\frac{1}{4}&-\frac{3}{4}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$

La matriz $B$ es invertible y su inversa es la matriz obtenida.