Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Aragón · 2022

Dada la siguiente matriz:

$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

a) Resuelva la ecuación matricial $A\,X - 2I = A^{2}$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3. [1 punto]

b) Analice el rango de la matriz $A - mB$ según los valores de $m \in \mathbb{R}$, siendo $A$ la matriz anterior y

$B = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$

[1 punto]

$\textbf{a) Resuelva la ecuación matricial } \boldsymbol{A\,X - 2I = A^{2}}\textbf{, donde } \boldsymbol{I}\textbf{ es la matriz identidad de orden 3. [1 punto]}$

Se despeja primero la incógnita en la ecuación matricial y después se sustituyen las matrices. Como $X$ está multiplicada por la izquierda por $A$, hay que multiplicar por $A^{-1}$ también por la izquierda, así que lo primero es comprobar que $A$ es invertible.

$|A|=\begin{vmatrix}1&-1&0\\0&0&1\\1&0&1\end{vmatrix}=-1\cdot\begin{vmatrix}1&-1\\1&0\end{vmatrix}=-(0+1)=-1\neq0$

(Se ha desarrollado por la segunda fila, que solo tiene un elemento no nulo.)

$A\,X-2I=A^{2}\ \Rightarrow\ A\,X=A^{2}+2I\ \Rightarrow\ X=A^{-1}\left(A^{2}+2I\right)=A^{-1}A^{2}+2A^{-1}=A+2A^{-1}$

La expresión final ahorra multiplicar matrices: basta con calcular la inversa.

$\operatorname{Adj}(A)=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&1&-1\\-1&-1&0\end{pmatrix}$

$A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\left[\operatorname{Adj}(A)\right]^{T}=-\begin{pmatrix}0&1&-1\\1&1&-1\\0&-1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-1&1\\-1&-1&1\\0&1&0\end{pmatrix}$

$X=A+2A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1&0\\0&0&1\\1&0&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&-2&2\\-2&-2&2\\0&2&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-3&2\\-2&-2&3\\1&2&1\end{pmatrix}$

Comprobamos el resultado. Por un lado,

$A^{2}+2I=\begin{pmatrix}1&-1&-1\\1&0&1\\2&-1&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&-1&-1\\1&2&1\\2&-1&3\end{pmatrix}$

y por otro,

$A\,X=\begin{pmatrix}1&-1&0\\0&0&1\\1&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-3&2\\-2&-2&3\\1&2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&-1&-1\\1&2&1\\2&-1&3\end{pmatrix}$

La solución de la ecuación matricial es $X=\begin{pmatrix}1&-3&2\\-2&-2&3\\1&2&1\end{pmatrix}$.

$\textbf{b) Analice el rango de la matriz } \boldsymbol{A - mB}\textbf{ según los valores de } \boldsymbol{m \in \mathbb{R}}\textbf{. [1 punto]}$

Formamos la matriz que depende del parámetro y estudiamos su determinante, que es lo que decide si el rango llega a 3.

$A-mB=\begin{pmatrix}1&-1&0\\0&0&1\\1&0&1\end{pmatrix}-m\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&m-1&0\\-m&0&1-m\\1&m&1\end{pmatrix}$

$|A-mB|=\begin{vmatrix}1&m-1&0\\-m&0&1-m\\1&m&1\end{vmatrix}$

Desarrollando por la primera fila:

$=1\left[0-m(1-m)\right]-(m-1)\left[-m-(1-m)\right]=-m+m^{2}-(m-1)(-1)=m^{2}-1$

$m^{2}-1=0\ \Rightarrow\ m=\pm1$

$\text{Si }m\neq\pm1:\quad |A-mB|\neq0\ \Rightarrow\ \operatorname{ran}(A-mB)=3$

Para los dos valores que anulan el determinante buscamos un menor de orden 2 no nulo.

$m=1:\ A-B=\begin{pmatrix}1&0&0\\-1&0&0\\1&1&1\end{pmatrix},\qquad \begin{vmatrix}1&0\\1&1\end{vmatrix}=1\neq0\ \Rightarrow\ \operatorname{ran}=2$

$m=-1:\ A+B=\begin{pmatrix}1&-2&0\\1&0&2\\1&-1&1\end{pmatrix},\qquad \begin{vmatrix}1&-2\\1&0\end{vmatrix}=2\neq0\ \Rightarrow\ \operatorname{ran}=2$

En resumen: el rango de $A-mB$ es 2 si $m=1$ o $m=-1$, y 3 para cualquier otro valor de $m$.