Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Aragón · 2023

Sabiendo que $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 0 & 5 \\ a & b & c \end{vmatrix} = \dfrac{1}{2}$, calcule razonadamente el determinante de la matriz

$A = \begin{pmatrix} 4a + 2 & 4b + 4 & 4c + 6 \\ 3a & 3b & 3c \\ a + 4 & b & c + 5 \end{pmatrix}^{2}$

[2 puntos]

No hace falta —ni se puede— calcular $a$, $b$ y $c$: se trata de escribir las filas de la matriz que se eleva al cuadrado como combinación lineal de las del determinante conocido y aplicar después las propiedades de los determinantes. Llamamos

$F_{1}=(1,2,3)\ ;\qquad F_{2}=(4,0,5)\ ;\qquad F_{3}=(a,b,c)\ ;\qquad \begin{vmatrix}F_{1}\\F_{2}\\F_{3}\end{vmatrix}=\dfrac{1}{2}$

Observando las filas de la matriz que hay dentro del cuadrado:

$(4a+2,\,4b+4,\,4c+6)=4F_{3}+2F_{1}$

$(3a,\,3b,\,3c)=3F_{3}$

$(a+4,\,b,\,c+5)=F_{3}+F_{2}$

Llamamos $M$ a esa matriz, de modo que $A=M^{2}$. Un determinante es lineal en cada fila por separado, así que se desdobla el que tiene la suma en la primera fila:

$|M|=\begin{vmatrix}4F_{3}+2F_{1}\\3F_{3}\\F_{3}+F_{2}\end{vmatrix}=4\begin{vmatrix}F_{3}\\3F_{3}\\F_{3}+F_{2}\end{vmatrix}+2\begin{vmatrix}F_{1}\\3F_{3}\\F_{3}+F_{2}\end{vmatrix}$

El primer determinante tiene sus dos primeras filas proporcionales, luego es nulo. En el segundo se saca el factor 3 de la segunda fila y se vuelve a desdoblar la tercera:

$|M|=2\cdot3\begin{vmatrix}F_{1}\\F_{3}\\F_{3}+F_{2}\end{vmatrix}=6\left(\begin{vmatrix}F_{1}\\F_{3}\\F_{3}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}F_{1}\\F_{3}\\F_{2}\end{vmatrix}\right)$

El primero de los dos vuelve a tener dos filas iguales y se anula. El segundo se obtiene del dato intercambiando las filas segunda y tercera, lo que cambia el signo del determinante:

$\begin{vmatrix}F_{1}\\F_{3}\\F_{2}\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}F_{1}\\F_{2}\\F_{3}\end{vmatrix}=-\dfrac{1}{2}$

$|M|=6\left(0-\dfrac{1}{2}\right)=-3$

Por último, el determinante de un producto de matrices es el producto de los determinantes:

$|A|=\left|M^{2}\right|=|M|\cdot|M|=(-3)^{2}=9$

El determinante de la matriz $A$ vale 9.