Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Aragón · 2023

Dada la siguiente matriz:

$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & m \\ 2 & m & m + 2 \\ m - 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

a) Discuta el rango de la matriz $A$ según los valores de $m \in \mathbb{R}$. [1 punto]

b) Calcule la inversa de la matriz $A$ para el valor $m = 1$. [1 punto]

$\textbf{a) Discuta el rango de la matriz } \boldsymbol{A}\textbf{ según los valores de } \boldsymbol{m \in \mathbb{R}}\textbf{. [1 punto]}$

Al ser $A$ cuadrada de orden 3, su rango es 3 salvo para los valores del parámetro que anulan su determinante. Lo calculamos por la regla de Sarrus.

$|A|=\begin{vmatrix}1&-1&m\\2&m&m+2\\m-1&2&1\end{vmatrix}$

Desarrollando por la primera fila:

$|A|=1\begin{vmatrix}m&m+2\\2&1\end{vmatrix}+1\begin{vmatrix}2&m+2\\m-1&1\end{vmatrix}+m\begin{vmatrix}2&m\\m-1&2\end{vmatrix}$

$=\left(m-2m-4\right)+\left(2-(m+2)(m-1)\right)+m\left(4-m(m-1)\right)$

$=(-m-4)+\left(4-m^{2}-m\right)+\left(4m-m^{3}+m^{2}\right)=2m-m^{3}=m\left(2-m^{2}\right)$

$m\left(2-m^{2}\right)=0\ \Rightarrow\ \begin{cases}m=0\\m=\sqrt2\\m=-\sqrt2\end{cases}$

$\text{Si }m\neq0,\ \pm\sqrt2:\quad |A|\neq0\ \Rightarrow\ \operatorname{ran}(A)=3$

Para cada uno de los tres valores que anulan el determinante basta encontrar un menor de orden 2 no nulo para concluir que el rango es 2. Sirve en los tres casos el que forman las dos primeras filas y columnas:

$\begin{vmatrix}1&-1\\2&m\end{vmatrix}=m+2$

$m=0:\ m+2=2\neq0\ ;\qquad m=\sqrt2:\ m+2=\sqrt2+2\neq0\ ;\qquad m=-\sqrt2:\ m+2=2-\sqrt2\neq0$

En los tres casos $\operatorname{ran}(A)=2$. En resumen: el rango de $A$ es 2 si $m=0$, $m=\sqrt2$ o $m=-\sqrt2$, y 3 para cualquier otro valor de $m$.

$\textbf{b) Calcule la inversa de la matriz } \boldsymbol{A}\textbf{ para el valor } \boldsymbol{m = 1}\textbf{. [1 punto]}$

Para $m=1$ el determinante vale $1\cdot(2-1)=1\neq0$, así que la matriz es invertible. La inversa se obtiene como la traspuesta de la matriz de adjuntos dividida por el determinante.

$A=\begin{pmatrix}1&-1&1\\2&1&3\\0&2&1\end{pmatrix}\ ;\qquad |A|=1$

$\operatorname{Adj}(A)=\begin{pmatrix}-5&-2&4\\3&1&-2\\-4&-1&3\end{pmatrix}$

$A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\left[\operatorname{Adj}(A)\right]^{T}=\begin{pmatrix}-5&3&-4\\-2&1&-1\\4&-2&3\end{pmatrix}$

Comprobamos el resultado:

$A\cdot A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1&1\\2&1&3\\0&2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-5&3&-4\\-2&1&-1\\4&-2&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$

La inversa pedida es $A^{-1}=\begin{pmatrix}-5&3&-4\\-2&1&-1\\4&-2&3\end{pmatrix}$.