Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Aragón · 2023

Sean las matrices

$A = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} -3 & 5 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

a) Calcule la matriz $A^{n}$ para $n \in \mathbb{N}$. [1 punto]

b) Resuelva la ecuación $(A + 2I)\,X = B$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 2. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule la matriz } \boldsymbol{A^{n}}\textbf{ para } \boldsymbol{n \in \mathbb{N}}\textbf{. [1 punto]}$

Para hallar una potencia $n$-ésima se calculan las primeras potencias hasta reconocer la ley que siguen, y después se justifica por inducción.

$A^{2}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&1\\-1&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&1\\-1&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{4}-1&\frac{1}{2}-2\\-\frac{1}{2}+2&-1+4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{3}{4}&-\frac{3}{2}\\\frac{3}{2}&3\end{pmatrix}$

La matriz obtenida es proporcional a la de partida:

$A^{2}=-\dfrac{3}{2}\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&1\\-1&-2\end{pmatrix}=-\dfrac{3}{2}A$

De ahí salen todas las potencias, multiplicando sucesivamente por $A$:

$A^{3}=A^{2}\cdot A=-\dfrac{3}{2}A\cdot A=-\dfrac{3}{2}A^{2}=\left(-\dfrac{3}{2}\right)^{2}A$

Suponiendo cierta la fórmula para $n$, se cumple para $n+1$:

$A^{n+1}=A^{n}\cdot A=\left(-\dfrac{3}{2}\right)^{n-1}A\cdot A=\left(-\dfrac{3}{2}\right)^{n-1}A^{2}=\left(-\dfrac{3}{2}\right)^{n}A$

Queda así probado por inducción que

$A^{n}=\left(-\dfrac{3}{2}\right)^{n-1}\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&1\\-1&-2\end{pmatrix}\qquad \forall n\in\mathbb{N}$

$\textbf{b) Resuelva la ecuación } \boldsymbol{(A + 2I)\,X = B}\textbf{, donde } \boldsymbol{I}\textbf{ es la matriz identidad de orden 2. [1 punto]}$

Se calcula la matriz que multiplica a la incógnita, se comprueba que es invertible y se despeja multiplicando por su inversa por la izquierda.

$A+2I=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&1\\-1&-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{5}{2}&1\\-1&0\end{pmatrix}$

$|A+2I|=\begin{vmatrix}\frac{5}{2}&1\\-1&0\end{vmatrix}=0-(-1)=1\neq0\ \Rightarrow\ \exists\,(A+2I)^{-1}$

$(A+2I)^{-1}=\dfrac{1}{1}\begin{pmatrix}0&-1\\1&\frac{5}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-1\\1&\frac{5}{2}\end{pmatrix}$

$(A+2I)X=B\ \Rightarrow\ X=(A+2I)^{-1}B$

$X=\begin{pmatrix}0&-1\\1&\frac{5}{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-3&5\\2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&-1\\2&\frac{15}{2}\end{pmatrix}$

Comprobamos el resultado:

$(A+2I)X=\begin{pmatrix}\frac{5}{2}&1\\-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2&-1\\2&\frac{15}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5+2&-\frac{5}{2}+\frac{15}{2}\\2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3&5\\2&1\end{pmatrix}=B$

La solución de la ecuación matricial es $X=\begin{pmatrix}-2&-1\\2&\frac{15}{2}\end{pmatrix}$.