Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Aragón · 2023

Sean las siguientes matrices:

$A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 2 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad D = A \cdot B^{T} - 2I$

donde $B^{T}$ es la matriz traspuesta de $B$, e $I$ es la matriz identidad de orden 3.

a) Estudie si la matriz $D$ tiene inversa y, en caso afirmativo, calcúlela. [1 punto]

b) Resuelva la ecuación matricial $C\,X = A^{T} \cdot B$, donde $A^{T}$ es la matriz traspuesta de $A$. [1 punto]

$\textbf{a) Estudie si la matriz } \boldsymbol{D}\textbf{ tiene inversa y, en caso afirmativo, calcúlela. [1 punto]}$

Primero se calcula $D$. La traspuesta de $B$ es de orden $2\times3$, así que el producto $A\cdot B^{T}$ es de orden $3\times3$ y puede restársele $2I$ con $I$ de orden 3.

$B^{T}=\begin{pmatrix}1&1&-2\\0&1&0\end{pmatrix}$

$A\cdot B^{T}=\begin{pmatrix}-2&1\\2&0\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1&-2\\0&1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&-1&4\\2&2&-4\\1&0&-2\end{pmatrix}$

$D=A\cdot B^{T}-2I=\begin{pmatrix}-2&-1&4\\2&2&-4\\1&0&-2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4&-1&4\\2&0&-4\\1&0&-4\end{pmatrix}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no es nulo. La segunda columna tiene dos ceros, así que conviene desarrollar por ella:

$|D|=\begin{vmatrix}-4&-1&4\\2&0&-4\\1&0&-4\end{vmatrix}=-(-1)\begin{vmatrix}2&-4\\1&-4\end{vmatrix}=1\cdot(-8+4)=-4$

$|D|=-4\neq0\ \Rightarrow\ \exists\,D^{-1}$

La calculamos por el método de la matriz adjunta: la inversa es la traspuesta de la matriz de adjuntos dividida por el determinante.

$\operatorname{Adj}(D)=\begin{pmatrix}0&4&0\\-4&12&-1\\4&-8&2\end{pmatrix}\ ;\qquad \left[\operatorname{Adj}(D)\right]^{T}=\begin{pmatrix}0&-4&4\\4&12&-8\\0&-1&2\end{pmatrix}$

$D^{-1}=\dfrac{1}{|D|}\left[\operatorname{Adj}(D)\right]^{T}=-\dfrac{1}{4}\begin{pmatrix}0&-4&4\\4&12&-8\\0&-1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1&-1\\-1&-3&2\\0&\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$

Comprobamos el resultado multiplicando:

$D\cdot D^{-1}=\begin{pmatrix}-4&-1&4\\2&0&-4\\1&0&-4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1&-1\\-1&-3&2\\0&\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$

$\textbf{b) Resuelva la ecuación matricial } \boldsymbol{C\,X = A^{T} \cdot B}\textbf{. [1 punto]}$

La incógnita está multiplicada por la izquierda por $C$, así que se despeja multiplicando por $C^{-1}$ también por la izquierda. Calculamos antes el segundo miembro.

$A^{T}=\begin{pmatrix}-2&2&1\\1&0&-1\end{pmatrix}$

$A^{T}\cdot B=\begin{pmatrix}-2&2&1\\1&0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\1&1\\-2&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&2\\3&0\end{pmatrix}$

$|C|=\begin{vmatrix}2&3\\1&0\end{vmatrix}=0-3=-3\neq0\ \Rightarrow\ \exists\,C^{-1}$

Para una matriz de orden 2 la inversa se escribe directamente intercambiando los elementos de la diagonal principal y cambiando de signo los de la secundaria:

$C^{-1}=\dfrac{1}{-3}\begin{pmatrix}0&-3\\-1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{pmatrix}$

$C\,X=A^{T}\cdot B\ \Rightarrow\ X=C^{-1}\left(A^{T}\cdot B\right)$

$X=\begin{pmatrix}0&1\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2&2\\3&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&0\\-\frac{8}{3}&\frac{2}{3}\end{pmatrix}$

Comprobamos que la matriz obtenida verifica la ecuación:

$C\,X=\begin{pmatrix}2&3\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&0\\-\frac{8}{3}&\frac{2}{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6-8&0+2\\3&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&2\\3&0\end{pmatrix}$

La solución de la ecuación matricial es $X=\begin{pmatrix}3&0\\-\frac{8}{3}&\frac{2}{3}\end{pmatrix}$.