Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Aragón · 2024

Dadas las siguientes matrices

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & m & m \\ 4 & 4 & 2m \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 12 \end{pmatrix}, \qquad m \in \mathbb{R}$

a) Analice el rango de la matriz $A$ según los valores de $m \in \mathbb{R}$. [1,2 puntos]

b) Resuelva el sistema $A \cdot X = B$ para el valor $m = 2$. [0,8 puntos]

$\textbf{a) Analice el rango de la matriz } \boldsymbol{A}\textbf{ según los valores de } \boldsymbol{m \in \mathbb{R}}\textbf{. [1,2 puntos]}$

$A$ es cuadrada de orden 3, así que su rango vale 3 como máximo y se empieza por el determinante. Los valores del parámetro que lo anulan son los únicos en los que el rango puede bajar.

$|A|=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&m&m\\4&4&2m\end{vmatrix}=2m^{2}-4m-(2m-4m)+(4-4m)=2m^{2}-6m+4$

$2m^{2}-6m+4=0\ \Rightarrow\ m^{2}-3m+2=0\ \Rightarrow\ m=\dfrac{3\pm\sqrt{9-8}}{2}\ \Rightarrow\ \begin{cases}m=1\\m=2\end{cases}$

$\text{Si }m\neq1\ \text{y}\ m\neq2:\quad |A|\neq0\ \Rightarrow\ \operatorname{ran}(A)=3$

Para los dos valores que anulan el determinante hay que buscar un menor de orden 2 no nulo.

$m=1\ \Rightarrow\ A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\4&4&2\end{pmatrix},\qquad \begin{vmatrix}1&1\\4&2\end{vmatrix}=2-4=-2\neq0\ \Rightarrow\ \operatorname{ran}(A)=2$

$m=2\ \Rightarrow\ A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&2\\4&4&4\end{pmatrix},\qquad \begin{vmatrix}1&1\\1&2\end{vmatrix}=2-1=1\neq0\ \Rightarrow\ \operatorname{ran}(A)=2$

En resumen: el rango de $A$ es 2 si $m=1$ o $m=2$, y 3 para cualquier otro valor de $m$.

$\textbf{b) Resuelva el sistema } \boldsymbol{A \cdot X = B}\textbf{ para el valor } \boldsymbol{m = 2}\textbf{. [0,8 puntos]}$

Para $m=2$ el apartado anterior da $\operatorname{ran}(A)=2$. Hay que comparar ese rango con el de la matriz ampliada para aplicar el teorema de Rouché-Frobenius.

$A^{*}=\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&3\\1&2&2&5\\4&4&4&12\end{array}\right)$

La tercera fila es cuatro veces la primera, término independiente incluido, luego no aporta nada y el rango de la ampliada tampoco pasa de 2:

$\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^{*})=2<3=\text{n.º de incógnitas}$

El sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad. Se resuelve con las dos primeras ecuaciones, que son las que dan el menor de orden 2 no nulo:

$\begin{cases}x+y+z=3\\x+2y+2z=5\end{cases}$

Restando la primera ecuación de la segunda:

$y+z=2\ \Rightarrow\ y=2-z$

$x=3-y-z=3-(2-z)-z=1$

Tomamos como parámetro la incógnita que no es principal:

$(x,y,z)=(1,\,2-\lambda,\,\lambda),\qquad \lambda\in\mathbb{R}$

Comprobamos en la tercera ecuación, que es la que se ha descartado:

$4\cdot1+4(2-\lambda)+4\lambda=4+8-4\lambda+4\lambda=12$

El sistema tiene infinitas soluciones, que son los puntos de la recta $(1,\,2-\lambda,\,\lambda)$, con $\lambda$ recorriendo los números reales.