Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Aragón · 2024

De una matriz $B$ sabemos que cumple

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ -7 & -8 & -9 \end{pmatrix} \cdot B = I_{3} - \begin{pmatrix} 10 & 11 & 12 \\ 7 & 9 & 9 \\ -4 & -5 & -7 \end{pmatrix} \cdot B$

donde $I_{3}$ es la matriz identidad de orden 3. Estudie si la matriz $B$ tiene inversa. En caso afirmativo, calcule la inversa de $B$. [2 puntos]

Llamamos $M$ y $N$ a las dos matrices que multiplican a $B$. La igualdad del enunciado tiene la incógnita a los dos lados, así que lo primero es agruparla; como $B$ está multiplicada por la izquierda en ambos miembros, se puede sacar factor común por la derecha.

$M\cdot B=I_{3}-N\cdot B\ \Rightarrow\ M\cdot B+N\cdot B=I_{3}\ \Rightarrow\ (M+N)\cdot B=I_{3}$

$M+N=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\-7&-8&-9\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}10&11&12\\7&9&9\\-4&-5&-7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}11&13&15\\11&14&15\\-11&-13&-16\end{pmatrix}$

La igualdad obtenida dice justamente que $M+N$ es la inversa de $B$ por la izquierda. Para que $B$ sea invertible basta comprobar que $M+N$ lo es, y para eso se calcula su determinante. Restando la primera fila a la segunda y sumándosela a la tercera, operaciones que no alteran el determinante:

$|M+N|=\begin{vmatrix}11&13&15\\11&14&15\\-11&-13&-16\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}11&13&15\\0&1&0\\0&0&-1\end{vmatrix}=11\cdot1\cdot(-1)=-11$

$|M+N|=-11\neq0\ \Rightarrow\ \exists\,(M+N)^{-1}$

Multiplicando la igualdad $(M+N)\cdot B=I_{3}$ por $(M+N)^{-1}$ por la izquierda se obtiene $B=(M+N)^{-1}$. La inversa de una matriz invertible es invertible, y su inversa es la matriz de partida, de modo que $B$ tiene inversa y no hace falta calcular $B$ para saber cuál es:

$B^{-1}=\left[(M+N)^{-1}\right]^{-1}=M+N=\begin{pmatrix}11&13&15\\11&14&15\\-11&-13&-16\end{pmatrix}$

La matriz $B$ sí tiene inversa, y esa inversa es $B^{-1}=\begin{pmatrix}11&13&15\\11&14&15\\-11&-13&-16\end{pmatrix}$.