Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Aragón · 2024

Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 4 \\ -4 & 6 & m - 6 \\ 2 & -3 & m + 6 \end{pmatrix}$, con $m \in \mathbb{R}$ un parámetro.

a) Estudie el rango de la matriz $A$ en función del parámetro $m \in \mathbb{R}$. [1,2 puntos]

b) Resuelva, si es posible, el sistema homogéneo $A \cdot X = \mathbf{0}$ cuando $m = 6$. [0,8 puntos]

$\textbf{a) Estudie el rango de la matriz } \boldsymbol{A}\textbf{ en función del parámetro } \boldsymbol{m \in \mathbb{R}}\textbf{. [1,2 puntos]}$

$A$ es una matriz cuadrada de orden 3, de modo que su rango vale 3 como máximo. Se empieza estudiando su determinante y, si se anula, se buscan menores de orden inferior no nulos. Aquí conviene hacer antes operaciones elementales por filas, que no cambian ni el determinante (si se suma a una fila un múltiplo de otra) ni el rango.

$|A|=\begin{vmatrix}2&-3&4\\-4&6&m-6\\2&-3&m+6\end{vmatrix}$

Las dos primeras componentes de la segunda fila son $-2$ veces las de la primera, y las de la tercera coinciden con las de la primera. Haciendo $F_{2}\to F_{2}+2F_{1}$ y $F_{3}\to F_{3}-F_{1}$:

$|A|=\begin{vmatrix}2&-3&4\\0&0&m+2\\0&0&m+2\end{vmatrix}=0\qquad \forall m\in\mathbb{R}$

El determinante es nulo para cualquier valor de $m$, porque las filas segunda y tercera de la matriz transformada son iguales. El rango, por tanto, nunca llega a 3, y se estudia sobre la matriz escalonada, que tiene el mismo rango que $A$:

$A\sim\begin{pmatrix}2&-3&4\\0&0&m+2\\0&0&m+2\end{pmatrix}$

Si $m\neq-2$, la segunda fila no es nula y hay un menor de orden 2 distinto de cero:

$\begin{vmatrix}2&4\\0&m+2\end{vmatrix}=2(m+2)\neq0\ \Rightarrow\ \operatorname{ran}(A)=2$

Si $m=-2$, las filas segunda y tercera se anulan y solo queda una fila no nula:

$A\sim\begin{pmatrix}2&-3&4\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\ \Rightarrow\ \operatorname{ran}(A)=1$

En resumen: si $m=-2$ el rango de $A$ es 1, y para cualquier otro valor de $m$ el rango es 2.

$\textbf{b) Resuelva, si es posible, el sistema homogéneo } \boldsymbol{A \cdot X = \mathbf{0}}\textbf{ cuando } \boldsymbol{m = 6}\textbf{. [0,8 puntos]}$

Un sistema homogéneo siempre es compatible, porque la matriz ampliada tiene el mismo rango que la de coeficientes: la columna de términos independientes es nula. Para $m=6$ el apartado anterior da $\operatorname{ran}(A)=2$, menor que el número de incógnitas, luego el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad.

$m=6\ \Rightarrow\ A=\begin{pmatrix}2&-3&4\\-4&6&0\\2&-3&12\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}2&-3&4\\0&0&8\\0&0&8\end{pmatrix}$

El sistema equivalente que queda tras escalonar es:

$\begin{cases}2x-3y+4z=0\\8z=0\end{cases}$

$8z=0\ \Rightarrow\ z=0\ \Rightarrow\ 2x-3y=0\ \Rightarrow\ x=\dfrac{3y}{2}$

Tomamos como parámetro la incógnita que no es principal; para que la solución quede sin denominadores conviene llamar $y=2\lambda$:

$(x,y,z)=(3\lambda,\,2\lambda,\,0),\qquad \lambda\in\mathbb{R}$

Comprobamos en la segunda ecuación del sistema de partida, que es la que se ha eliminado al escalonar:

$-4\cdot3\lambda+6\cdot2\lambda+0\cdot0=-12\lambda+12\lambda=0$

El sistema es compatible indeterminado y sus infinitas soluciones son los puntos de la recta $(3\lambda,2\lambda,0)$, con $\lambda$ recorriendo los números reales.