Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Aragón · 2024

Dadas las siguientes matrices:

$A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad C = A^{T} \cdot B + I_{2}$

donde $A^{T}$ es la matriz traspuesta de $A$, e $I_{2}$ es la matriz identidad de orden 2.

a) Calcule $C^{2n}$, con $n \in \mathbb{N}$. [0,8 puntos]

b) Resuelva la ecuación $C \cdot X = 5(A^{T} \cdot B)$. [1,2 puntos]

$\textbf{a) Calcule } \boldsymbol{C^{2n}}\textbf{, con } \boldsymbol{n \in \mathbb{N}}\textbf{. [0,8 puntos]}$

Antes de nada se calcula la matriz $C$, que interviene en los dos apartados. La traspuesta de $A$ es la matriz $2\times3$ que resulta de escribir sus filas como columnas, con lo que el producto $A^{T}\cdot B$ es de orden $2\times2$ y puede sumarse con $I_{2}$.

$A^{T}=\begin{pmatrix}-2&2&0\\1&0&-1\end{pmatrix}$

$A^{T}\cdot B=\begin{pmatrix}-2&2&0\\1&0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\-1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&2\\2&0\end{pmatrix}$

$C=A^{T}\cdot B+I_{2}=\begin{pmatrix}-2&2\\2&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&2\\2&1\end{pmatrix}$

Para elevar una matriz a una potencia cualquiera se calculan las primeras potencias hasta reconocer el patrón que siguen.

$C^{2}=\begin{pmatrix}-1&2\\2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&2\\2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+4&-2+2\\-2+2&4+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&0\\0&5\end{pmatrix}=5I_{2}$

El cuadrado de $C$ es un múltiplo de la identidad, y de ahí sale de golpe cualquier potencia par, porque $C^{2n}=\left(C^{2}\right)^{n}$ y la identidad conmuta con todo:

$C^{2n}=\left(C^{2}\right)^{n}=\left(5I_{2}\right)^{n}=5^{n}I_{2}=\begin{pmatrix}5^{n}&0\\0&5^{n}\end{pmatrix}$

Las potencias pares de $C$ son $C^{2n}=5^{n}I_{2}$.

$\textbf{b) Resuelva la ecuación } \boldsymbol{C \cdot X = 5(A^{T} \cdot B)}\textbf{. [1,2 puntos]}$

De la igualdad $C^{2}=5I_{2}$ obtenida en el apartado anterior se deduce que $C$ es invertible y cuál es su inversa, sin necesidad de calcularla por adjuntos: al ser $C\cdot\frac{1}{5}C=\frac{1}{5}C^{2}=I_{2}$, se tiene

$C^{-1}=\dfrac{1}{5}C=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}-1&2\\2&1\end{pmatrix}$

La incógnita $X$ está multiplicada por la izquierda, así que se multiplica por $C^{-1}$ también por la izquierda:

$C\cdot X=5\left(A^{T}\cdot B\right)\ \Rightarrow\ C^{-1}\cdot C\cdot X=C^{-1}\cdot5\left(A^{T}\cdot B\right)\ \Rightarrow\ X=5\,C^{-1}\left(A^{T}\cdot B\right)$

$X=5\cdot\dfrac{1}{5}C\left(A^{T}\cdot B\right)=C\left(A^{T}\cdot B\right)=\begin{pmatrix}-1&2\\2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2&2\\2&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&-2\\-2&4\end{pmatrix}$

Comprobamos que la matriz obtenida verifica la ecuación:

$C\cdot X=\begin{pmatrix}-1&2\\2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}6&-2\\-2&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-10&10\\10&0\end{pmatrix}=5\begin{pmatrix}-2&2\\2&0\end{pmatrix}=5\left(A^{T}\cdot B\right)$

La solución de la ecuación matricial es $X=\begin{pmatrix}6&-2\\-2&4\end{pmatrix}$.