Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Castilla-La Mancha · 2021

Una fuente situada en el origen de coordenadas ($x_1=0$) genera ondas armónicas que se propagan con una velocidad de $10\text{ m/s}$ en la dirección del eje $X$ positivo. Las ondas tienen amplitud $20\text{ cm}$ y frecuencia $\nu =5\text{ Hz}$. El desfase inicial es nulo.

a) Determine la frecuencia angular y el número de ondas de la fuente.

b) Escriba la función de onda y el valor que tiene en el punto $x=10\text{ m}$ cuando $t=\mathrm{0,975}\text{ s}$.

c) ¿En qué posición $(x_2)$ podríamos colocar una segunda fuente idéntica y en fase con la primera para que la interferencia de ambas en este punto $x=10\text{ m}$ fuese completamente destructiva? ¿Y totalmente constructiva? Justifique la respuesta.

Ayuda: $\text{sen}(a)+\text{sen}(b)=2\text{sen}\left({\displaystyle \frac{a+b}{2}}\right)\cos \left({\displaystyle \frac{a-b}{2}}\right)$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{frecuencia}}\mathbf{\text{angular}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ondas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuente.}}$

La frecuencia angular se obtiene de la frecuencia, y el número de ondas de la relación entre esta y la velocidad de propagación:

$\omega =2\pi \nu =2\pi \cdot 5=10\pi =\mathrm{31,4}\text{ rad/s}$

$v={\displaystyle \frac{\omega }{k}}\Rightarrow k={\displaystyle \frac{\omega }{v}}={\displaystyle \frac{10\pi }{10}}=\pi =\mathrm{3,14}\text{ rad/m}$

Conviene calcular también la longitud de onda, que hará falta en el último apartado:

$\lambda ={\displaystyle \frac{v}{\nu }}={\displaystyle \frac{10}{5}}=2\text{ m}$



La onda se propaga en el sentido positivo del eje $X$ y el desfase inicial es nulo, de modo que:

$y(x,t)=A\text{sen}(\omega t-kx)$

$y(x,t)=\mathrm{0,20}\text{sen}(10\pi t-\pi x)\text{ m}$

Se sustituyen la posición y el instante pedidos:

$y(10;\mathrm{0,975})=\mathrm{0,20}\text{sen}(10\pi \cdot \mathrm{0,975}-\pi \cdot 10)$

$y=\mathrm{0,20}\text{sen}(\mathrm{9,75}\pi -10\pi )=\mathrm{0,20}\text{sen}(-{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$

$y=-\mathrm{0,141}\text{ m}$












Cuando dos ondas idénticas y en fase se superponen en un punto, lo que decide el tipo de interferencia es la diferencia entre los caminos que ha recorrido cada una hasta llegar allí:

$\mathrm{\Delta }x=\mathrm{\mid }{x}_2-10\mathrm{\mid }-\mathrm{\mid }0-10\mathrm{\mid }$

Aplicando la ayuda del enunciado a las dos ondas, la amplitud resultante es proporcional a:

$2A\cos \left({\displaystyle \frac{k\mathrm{\Delta }x}{2}}\right)$





La interferencia es completamente destructiva cuando ese coseno se anula, es decir, cuando la diferencia de caminos es un número impar de semilongitudes de onda:

$\mathrm{\Delta }x=(2n+1){\displaystyle \frac{\lambda }{2}}=(2n+1)\cdot 1\text{ m},n=0,1,2\dots$

Las dos ondas llegan entonces en oposición de fase y se cancelan. La posición más sencilla es la que corresponde a $n=0$, con la segunda fuente a $1\text{ m}$ del punto:

$x_2=10+1=11\text{ m}\text{o bien}{x}_2=10-1=9\text{ m}$

La interferencia es totalmente constructiva cuando el coseno vale $\pm 1$, es decir, cuando la diferencia de caminos es un número entero de longitudes de onda:

$\mathrm{\Delta }x=n\lambda =2n\text{ m}$

Las dos ondas llegan en fase y sus amplitudes se suman. La posición más sencilla, con $n=1$, es:

$x_2=10+2=12\text{ m}\text{o bien}{x}_2=10-2=8\text{ m}$

Obsérvese que lo que importa no es dónde esté la segunda fuente en términos absolutos, sino su distancia al punto de observación: cualquier posición que cumpla la condición sobre $\mathrm{\Delta }x$ sirve igual.