Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Castilla-La Mancha · 2022

El nivel de presión acústica que medimos con un sonómetro a $5\text{ m}$ de un altavoz es de $80\text{ dB}$. Determine la intensidad de la onda en esa localización y a qué distancia habrá que alejarse para que el nivel se reduzca a $75\text{ dB}$.

Dato: $I_0={10}^{-12}\text{ W}{\text{m}}^{-2}$.

El nivel de intensidad sonora se define, a partir de la intensidad umbral del oído humano, como:

$\beta =10\log {\displaystyle \frac{I}{I_0}}$

Se despeja la intensidad correspondiente a la lectura del sonómetro:

$80=10\log {\displaystyle \frac{I}{{10}^{-12}}}\Rightarrow \log {\displaystyle \frac{I}{{10}^{-12}}}=8$

${\displaystyle \frac{I}{{10}^{-12}}}={10}^8\Rightarrow I={10}^{-4}{\text{W/m}}^2$

Para la segunda parte se usa que el altavoz emite en todas direcciones, de modo que la potencia se reparte sobre frentes de onda esféricos y la intensidad decae con el cuadrado de la distancia:

$I={\displaystyle \frac{P}{4\pi r^2}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{I_1}{I_2}}={\displaystyle \frac{r_2^2}{r_1^2}}$

Se calcula primero la intensidad que corresponde a $75\text{ dB}$:

$75=10\log {\displaystyle \frac{I_2}{{10}^{-12}}}\Rightarrow I_2={10}^{-12}\cdot {10}^{\mathrm{7,5}}=\mathrm{3,16}\cdot {10}^{-5}{\text{W/m}}^2$

Y se despeja la nueva distancia:

$r_2=r_1\sqrt{{\displaystyle \frac{I_1}{I_2}}}=5\sqrt{{\displaystyle \frac{{10}^{-4}}{\mathrm{3,16}\cdot {10}^{-5}}}}=5\sqrt{\mathrm{3,16}}$

$r_2=\mathrm{8,89}\text{ m}$

La intensidad a $5\text{ m}$ es ${10}^{-4}{\text{W/m}}^2$ y hay que alejarse hasta unos $\mathrm{8,9}\text{ m}$ para que el nivel baje a $75\text{ dB}$. Conviene retener la regla que se deduce de aquí: bajar $6\text{ dB}$ equivale a duplicar la distancia, así que bajar solo $5\text{ dB}$ exige algo menos del doble.