Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Castilla-La Mancha · 2020

Dos ondas electromagnéticas de igual longitud de onda $\lambda =600\text{ nm}$ e igual amplitud $E_0=500\text{ V/m}$ se propagan en el vacío en la misma dirección y sentido, pero están desfasadas ${90}^{\circ }$ entre sí. Calcule:

a) ¿Cuál es su frecuencia, su frecuencia angular, su periodo y su número de ondas?

b) Escriba la ecuación de onda resultante de su interferencia.

c) ¿Cuál es el desfase entre dos puntos separados por una distancia de $200\text{ nm}$?

Datos: velocidad de la luz en el vacío, $c=3\cdot {10}^8\text{ m/s}$; $1\text{ nm}={10}^{-9}\text{ m}$. Ayuda: $\text{sen}A+\text{sen}B=2\text{sen}{\displaystyle \frac{A+B}{2}}\cos {\displaystyle \frac{A-B}{2}}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{frecuencia,}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{frecuencia}}\mathbf{\text{angular,}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{periodo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ondas?}}$

Las dos ondas se propagan por el vacío, de modo que su velocidad es la de la luz y la frecuencia sale directamente de la longitud de onda:

$c=\lambda f\Rightarrow f={\displaystyle \frac{c}{\lambda }}={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8}{600\cdot {10}^{-9}}}$

$f=5\cdot {10}^{14}\text{ Hz}$

Es la frecuencia de la luz visible, en la zona del amarillo-verde.

De ella se obtienen las demás magnitudes:

$\omega =2\pi f=2\pi \cdot 5\cdot {10}^{14}=\mathrm{3,14}\cdot {10}^{15}\text{ rad/s}$

$T={\displaystyle \frac{1}{f}}={\displaystyle \frac{1}{5\cdot {10}^{14}}}=2\cdot {10}^{-15}\text{ s}$

$k={\displaystyle \frac{2\pi }{\lambda }}={\displaystyle \frac{2\pi }{600\cdot {10}^{-9}}}=\mathrm{1,05}\cdot {10}^7\text{ rad/m}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Escriba}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{resultante}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{interferencia.}}$

Las dos ondas tienen la misma amplitud, la misma frecuencia y la misma dirección de propagación, y están desfasadas ${90}^{\circ }=\pi \mathrm{/}2\text{ rad}$:

$E_1(x,t)=E_0\text{sen}(\omega t-kx)$

$E_2(x,t)=E_0\text{sen}(\omega t-kx+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

Por el principio de superposición, la onda resultante es la suma de ambas. Se aplica la ayuda del enunciado:

$\text{sen}A+\text{sen}B=2\text{sen}{\displaystyle \frac{A+B}{2}}\cos {\displaystyle \frac{A-B}{2}}$

con $A=\omega t-kx$ y $B=\omega t-kx+\pi \mathrm{/}2$:

${\displaystyle \frac{A+B}{2}}=\omega t-kx+{\displaystyle \frac{\pi }{4}}{\displaystyle \frac{A-B}{2}}=-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$

$E=2E_0\cos (-{\displaystyle \frac{\pi }{4}})\text{sen}(\omega t-kx+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$

Como el coseno es una función par, $\cos (-\pi \mathrm{/}4)=\cos (\pi \mathrm{/}4)=\sqrt{2}\mathrm{/}2$:

$E_{\text{res}}=2\cdot 500\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}=707\text{ V/m}$

Y la ecuación de la onda resultante, en unidades del Sistema Internacional, es:

$E(x,t)=707\text{sen}(\mathrm{3,14}\cdot {10}^{15}t-\mathrm{1,05}\cdot {10}^{7}x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})\text{ V/m}$

Se trata de una interferencia parcialmente constructiva: la amplitud resultante, $707\text{ V/m}$, es mayor que la de cada onda por separado, pero menor que los $1000\text{ V/m}$ que se obtendrían si estuvieran en fase.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{desfase}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{separados}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">200</mn><mtext> nm</mtext></mrow>}\mathbf{\text{?}}$

Para un mismo instante, la diferencia de fase entre dos puntos depende solo del término espacial:

$\mathrm{\Delta }\phi =k\mathrm{\Delta }x=\mathrm{1,05}\cdot {10}^7\cdot 200\cdot {10}^{-9}$

$\mathrm{\Delta }\phi =\mathrm{2,09}\text{ rad}$

Y expresado en grados:

$\mathrm{\Delta }\phi =\mathrm{2,09}\text{ rad}\cdot {\displaystyle \frac{{180}^{\circ }}{\pi \text{ rad}}}={120}^{\circ }$

El resultado es inmediato de anticipar: $200\text{ nm}$ es la tercera parte de la longitud de onda, y un tercio de ciclo son ${120}^{\circ }$.