Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Castilla-La Mancha · 2020

Consideramos una onda viajera transversal de amplitud $4\text{ cm}$ y periodo $\mathrm{0,02}\text{ s}$ que se propaga a $40\text{ m/s}$ en una cuerda tensa en la dirección y sentido positivo del eje $X$. En el instante $t=0$ la elongación del punto $x=0$ es $y=2\text{ cm}$.

a) Calcule los parámetros de la onda y escriba su ecuación.

b) ¿Cuál es la velocidad vertical del punto $x=0$ en el instante $t=0$?

c) ¿Cuál es la diferencia de fase entre $x=0$ y $x=\mathrm{0,20}\text{ m}$?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metros}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{escriba}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$

De los datos del enunciado se obtienen directamente la frecuencia, la frecuencia angular, la longitud de onda y el número de ondas:

$f={\displaystyle \frac{1}{T}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,02}}}=50\text{ Hz}$

$\omega ={\displaystyle \frac{2\pi }{T}}={\displaystyle \frac{2\pi }{\mathrm{0,02}}}=100\pi =314\text{ rad/s}$

$\lambda =vT=40\cdot \mathrm{0,02}=\mathrm{0,80}\text{ m}$

$k={\displaystyle \frac{2\pi }{\lambda }}={\displaystyle \frac{2\pi }{\mathrm{0,80}}}=\mathrm{2,5}\pi =\mathrm{7,85}\text{ rad/m}$

La onda es transversal y se propaga en el sentido positivo del eje $X$, así que los términos espacial y temporal llevan signos opuestos:

$y(x,t)=A\text{sen}(\omega t-kx+{\phi }_0)$

El desfase inicial se obtiene de la condición del enunciado, con la amplitud en unidades del Sistema Internacional:

$A=4\text{ cm}=\mathrm{0,04}\text{ m}$

$y(0,0)=\mathrm{0,04}\text{sen}({\phi }_0)=\mathrm{0,02}\Rightarrow \text{sen}({\phi }_0)=\mathrm{0,5}$

${\phi }_0={\displaystyle \frac{\pi }{6}}\text{ rad}$

La ecuación de la onda es, por tanto:

$y(x,t)=\mathrm{0,04}\text{sen}(100\pi t-\mathrm{2,5}\pi x+{\displaystyle \frac{\pi }{6}})\text{ m}$

Existe una segunda solución para el desfase, ${\phi }_0=5\pi \mathrm{/}6$, igualmente compatible con el dato de la elongación. Se toma la primera porque corresponde a un punto que está subiendo; la segunda describiría un punto en la misma posición pero bajando.



La velocidad de oscilación es la derivada de la elongación respecto del tiempo:

$v_y(x,t)={\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }t}}=A\omega \cos (\omega t-kx+{\phi }_0)$

Se sustituyen la posición y el instante pedidos:

$v_y(0,0)=\mathrm{0,04}\cdot 100\pi \cdot \cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)=\mathrm{12,57}\cdot \mathrm{0,866}$

$v_y(0,0)=\mathrm{10,9}\text{ m/s}$

El signo positivo indica que en ese instante el punto se está moviendo hacia arriba, hacia elongaciones crecientes.

Conviene no confundir esta velocidad con la de propagación de la onda, que es $40\text{ m/s}$ y va en la dirección del eje $X$: la de oscilación es vertical, cambia con el tiempo y su valor máximo es $A\omega =\mathrm{12,6}\text{ m/s}$.



Para un mismo instante, la diferencia de fase entre dos puntos depende solo del término espacial:

$\mathrm{\Delta }\phi =k\mathrm{\Delta }x=\mathrm{2,5}\pi \cdot \mathrm{0,20}$

$\mathrm{\Delta }\phi =\mathrm{0,5}\pi =\mathrm{1,57}\text{ rad}$

Y expresada en grados:

$\mathrm{\Delta }\phi ={90}^{\circ }$

Era previsible: $\mathrm{0,20}\text{ m}$ es justo la cuarta parte de la longitud de onda, y un cuarto de ciclo son ${90}^{\circ }$. Los dos puntos oscilan en cuadratura, de modo que cuando uno pasa por el equilibrio el otro está en un extremo.