Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Aragón · 2024

Se pretende afinar una guitarra eléctrica en «Re vago» de forma que en la sexta cuerda suene un Re, cuya frecuencia es 293,66 Hz. La longitud de la cuerda es de 79 cm. Se considera que el Re es el armónico fundamental.

a) ¿A qué velocidad se desplazarán las ondas viajeras en la cuerda? [0,75 puntos]

b) ¿Qué frecuencia tendrá el siguiente armónico? ¿A qué tensión deberá estar sometida la cuerda si su densidad lineal es de $\mathrm{3,99}\cdot {10}^{-4}\text{ kg}\mathrm{/}\text{m}$? [1,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿A}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{desplazar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{ondas}}\mathbf{\text{viajeras}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cuerda?}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$










La cuerda está sujeta por sus dos extremos, que son forzosamente nodos. En el armónico fundamental no hay ningún nodo intermedio, así que en la longitud de la cuerda cabe media longitud de onda:

$L={\displaystyle \frac{{\lambda }_1}{2}}\Rightarrow {\lambda }_1=2L$

${\lambda }_1=2\cdot \mathrm{0,79}=\mathrm{1,58}\text{ m}$





La velocidad de propagación de las ondas viajeras que forman la estacionaria se obtiene de la relación entre longitud de onda y frecuencia:

$v={\lambda }_1{f}_1=\mathrm{1,58}\cdot \mathrm{293,66}=\mathrm{4,64}\cdot {10}^2\text{ m/s}$

Las ondas viajan por la cuerda a $464\text{ m/s}$. Esta velocidad depende solo de la cuerda —de su tensión y de su densidad lineal—, no de la nota que se toque.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{frecuencia}}\mathbf{\text{tendr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{siguiente}}\mathbf{\text{arm}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{nico?}}\mathbf{\text{¿A}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tensi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{deber}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{estar}}\mathbf{\text{sometida}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cuerda}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{densidad}}\mathbf{\text{lineal}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">3,99</mn><mo\; mathvariant="bold-italic">\cdot </mo><msup><mn\; mathvariant="bold">10</mn><mrow><mo\; mathvariant="bold-italic">-</mo><mn\; mathvariant="bold">4</mn></mrow></msup><mtext> kg/m</mtext></mrow>}\mathbf{\text{?}}\mathbf{\text{[1,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$










Las frecuencias de los armónicos de una cuerda fija por sus dos extremos son múltiplos enteros de la fundamental:

$f_n=n{f}_1={\displaystyle \frac{nv}{2L}}$

El siguiente armónico es el segundo, que tiene un nodo en el centro:

$f_2=2f_1=2\cdot \mathrm{293,66}=\mathrm{587,32}\text{ Hz}$





La velocidad de propagación de una onda transversal en una cuerda depende de la tensión $T$ y de la densidad lineal $\mu$:

$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{T}{\mu }}}$

Se despeja la tensión y se sustituye:

$T=v^2\mu ={464}^2\cdot \mathrm{3,99}\cdot {10}^{-4}=\mathrm{85,9}\text{ N}$

El siguiente armónico suena a $\mathrm{587,32}\text{ Hz}$, una octava por encima del Re, y la cuerda debe estar tensada con $\mathrm{85,9}\text{ N}$. Afinar la guitarra consiste precisamente en ajustar esa tensión hasta que la frecuencia fundamental sea la de la nota buscada.