Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Castilla-La Mancha · 2022

La expresión de una onda sonora unidimensional que se propaga por un líquido, en pascales, es la siguiente:

$P(x,t)=\mathrm{0,3}\text{sen}(\pi x\mathrm{/}10-451t)$

donde $x$ está en metros y $t$ en segundos.

a) Determine la amplitud, la longitud de onda y el desfase inicial de la onda. Indique en qué sentido del eje $X$ se está propagando.

b) Determine la frecuencia de la onda y calcule la velocidad con que se propaga.

c) Calcule la diferencia de fase (en grados) y la diferencia en el valor de presión que se sentirá en $t=0$ entre los puntos $x=2\text{ m}$ y $x=5\text{ m}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{amplitud,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{desfase}}\mathbf{\text{inicial}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda.}}\mathbf{\text{Indique}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{sentido}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{eje}}\mathit{X}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{propagando.}}$

Comparando la función del enunciado con la forma general de una onda armónica:

$P(x,t)=P_0\text{sen}(kx-\omega t+{\phi }_0)$

se identifican directamente:

$P_0=\mathrm{0,3}\text{ Pa}k={\displaystyle \frac{\pi }{10}}\text{ rad/m}\omega =451\text{ rad/s}{\phi }_0=0\text{ rad}$

La longitud de onda se obtiene del número de ondas:

$\lambda ={\displaystyle \frac{2\pi }{k}}={\displaystyle \frac{2\pi }{\pi \mathrm{/}10}}=20\text{ m}$

En cuanto al sentido de propagación, los términos espacial y temporal llevan signos opuestos, de modo que la onda avanza en el sentido positivo del eje $X$. Se comprueba imponiendo que la fase se mantenga constante: si $kx-\omega t$ no cambia, al aumentar $t$ debe aumentar $x$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{frecuencia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{propaga.}}$

La frecuencia se deduce de la frecuencia angular:

$f={\displaystyle \frac{\omega }{2\pi }}={\displaystyle \frac{451}{2\pi }}=\mathrm{71,8}\text{ Hz}$

Y la velocidad de propagación, del cociente entre la frecuencia angular y el número de ondas:

$v={\displaystyle \frac{\omega }{k}}={\displaystyle \frac{451}{\pi \mathrm{/}10}}=\mathrm{1,44}\cdot {10}^3\text{ m/s}$

El valor es coherente con el enunciado: unos $1440\text{ m/s}$ es la velocidad típica del sonido en un líquido, unas cuatro veces mayor que en el aire.



Para un mismo instante, la diferencia de fase entre dos puntos solo depende del término espacial:

$\mathrm{\Delta }\phi =k\mathrm{\Delta }x={\displaystyle \frac{\pi }{10}}(5-2)=\mathrm{0,3}\pi =\mathrm{0,942}\text{ rad}$

Y expresada en grados:

$\mathrm{\Delta }\phi =\mathrm{0,3}\pi \text{ rad}\cdot {\displaystyle \frac{{180}^{\circ }}{\pi \text{ rad}}}={54}^{\circ }$

Para la diferencia de presión se evalúa la función en cada punto con $t=0$:

$P(2,0)=\mathrm{0,3}\text{sen}({\displaystyle \frac{\pi }{10}}\cdot 2)=\mathrm{0,3}\text{sen}(\mathrm{0,2}\pi )=\mathrm{0,3}\cdot \mathrm{0,588}=\mathrm{0,176}\text{ Pa}$

$P(5,0)=\mathrm{0,3}\text{sen}({\displaystyle \frac{\pi }{10}}\cdot 5)=\mathrm{0,3}\text{sen}\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)=\mathrm{0,3}\text{ Pa}$

$\mathrm{\Delta }P=\mathrm{0,3}-\mathrm{0,176}=\mathrm{0,124}\text{ Pa}$

El punto $x=5\text{ m}$ está justo en un máximo de presión —a un cuarto de longitud de onda del origen—, mientras que el de $x=2\text{ m}$ va algo por detrás.