Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

El 70 % de los turistas que visitan una determinada ciudad se alojan en el centro, y el resto lo hace en las afueras. El 60 % de los que se alojan en el centro y el 40 % de los que se alojan en las afueras lo hacen en hoteles de 3 o más estrellas, mientras que el resto lo hace en establecimientos de menor calidad.

a) Elegida una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que se haya alojado en un hotel de 3 o más estrellas? (0,75 puntos)

b) Si se sabe que una persona se ha alojado en un establecimiento de menor calidad, ¿cuál es la probabilidad de que esta persona se haya alojado en el centro? (0,75 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Elegida}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{persona}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{alojado}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{hotel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{3}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{estrellas?}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Nombramos los sucesos: $C$ = se aloja en el centro, $A$ = se aloja en las afueras y $H$ = se aloja en un hotel de 3 o más estrellas.

Como el 70 % se aloja en el centro, el resto lo hace en las afueras:

$P(C)=\mathrm{0,70},P(A)=\mathrm{0,30}$

$P(H\mathrm{/}C)=\mathrm{0,60},P(H\mathrm{/}A)=\mathrm{0,40}$



Por el teorema de la probabilidad total:

$P(H)=P(C)P(H\mathrm{/}C)+P(A)P(H\mathrm{/}A)=\mathrm{0,70}\cdot \mathrm{0,60}+\mathrm{0,30}\cdot \mathrm{0,40}$

$P(H)=\mathrm{0,42}+\mathrm{0,12}=\mathrm{0,54}$

La probabilidad de que una persona elegida al azar se haya alojado en un hotel de 3 o más estrellas es 0,54.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{sabe}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{persona}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{alojado}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{establecimiento}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{menor}}\mathbf{\text{calidad,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{persona}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{alojado}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{centro?}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Del apartado anterior obtenemos la probabilidad de alojarse en un establecimiento de menor calidad pasando al suceso contrario:

$P(\bar{H})=1-\mathrm{0,54}=\mathrm{0,46}$

Y ahora aplicamos el teorema de Bayes:

$P(C\mathrm{/}\bar{H})={\displaystyle \frac{P(C)P(\bar{H}\mathrm{/}C)}{P(\bar{H})}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,70}\cdot \mathrm{0,40}}{\mathrm{0,46}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,28}}{\mathrm{0,46}}}={\displaystyle \frac{14}{23}}\approx \mathrm{0,6087}$

Entre las personas alojadas en establecimientos de menor calidad, la probabilidad de que sea en el centro es $\frac{14}{23}$, aproximadamente 0,6087.