Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2024

El precio, $P(x)$ (en euros), de las acciones de una compañía a lo largo de 10 días ($x\equiv$ días) viene expresado por la función

$P(x)=\{\begin{array}{ll}18x^2-100x+162& \text{si }0\le x\le c\\ -x^3+18x^2-96x+162& \text{si }c<x<10\end{array}$

a) ¿Para qué valor de $c$ el precio de las acciones se comporta de forma continua en $x=c$? (0,5 puntos)

b) Para $c=2$, ¿cuándo se tienen los precios máximo y mínimo de las acciones a partir del segundo día? (0,5 puntos)

c) Para $c=2$, determina en qué intervalos de tiempo el precio de las acciones crece y en cuáles decrece a partir del segundo día. (0,5 puntos)

Los dos trozos son polinomios, así que basta imponer que los valores laterales coincidan en el punto de empalme.

$18c^2-100c+162=-c^3+18c^2-96c+162$

Simplificamos los términos que aparecen en los dos miembros:

$-100c=-c^3-96c\Rightarrow c^3-4c=0\Rightarrow c(c^2-4)=0$

$\{\begin{array}{l}c=0\\ c=2\\ c=-2\end{array}$

Se descarta $c=-2$ por quedar fuera del intervalo de días, y también $c=0$, porque entonces el primer trozo se reduciría a un punto. El precio de las acciones se comporta de forma continua para $c=2$.



A partir del segundo día el precio lo da el segundo trozo:

$P(x)=-x^3+18x^2-96x+162,2<x<10$

Derivamos e igualamos a cero para localizar los puntos críticos.

$P^{\mathrm{\prime }}(x)=-3x^2+36x-96$

$P^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow x^2-12x+32=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{12\pm \sqrt{144-128}}{2}}={\displaystyle \frac{12\pm 4}{2}}$

$\{\begin{array}{l}x=4\\ x=8\end{array}$

Los dos pertenecen al intervalo. Comprobamos el signo de la segunda derivada en cada uno:

$P^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-6x+36$

$P^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(4)=12>0,P^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(8)=-12<0$

Luego en $x=4$ hay un mínimo y en $x=8$ un máximo. Sus valores son:

$P(4)=-64+288-384+162=2\text{ €}$

$P(8)=-512+1152-768+162=34\text{ €}$

El precio mínimo, 2 €, se alcanza el cuarto día, y el máximo, 34 €, el octavo.



Hacemos un estudio del signo de $P^{\mathrm{\prime }}(x)=-3x^2+36x-96$, que es una parábola abierta hacia abajo con raíces 4 y 8, tomando un punto de cada tramo:

$P^{\mathrm{\prime }}(3)=-27+108-96=-15<0$

$P^{\mathrm{\prime }}(6)=-108+216-96=12>0$

$P^{\mathrm{\prime }}(9)=-243+324-96=-15<0$



El precio de las acciones decrece entre el segundo y el cuarto día, $(2,4)$, crece entre el cuarto y el octavo, $(4,8)$, y vuelve a decrecer entre el octavo y el décimo, $(8,10)$.