Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2020

Dadas las matrices

$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -2 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \qquad y \qquad C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & -2 \end{pmatrix}$

a) [1 punto] Calcule razonadamente la matriz inversa de $A$.

b) [1,5 puntos] Calcule razonadamente la matriz $X$ de la ecuación matricial $AX + I_3 = BC$, donde $I_3$ es la matriz identidad.

$\textbf{a) [1 punto] Calcule razonadamente la matriz inversa de } \boldsymbol{A}\textbf{.}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero, así que empezamos por él. Lo desarrollamos por la primera columna, que solo tiene un elemento no nulo.

$|A|=\begin{vmatrix}0&1&1\\1&0&-2\\0&-1&0\end{vmatrix}=-1\cdot\begin{vmatrix}1&1\\-1&0\end{vmatrix}=-1\cdot(0+1)=-1\neq0$

La matriz es regular. Aplicamos la fórmula de la inversa a partir de la adjunta de la traspuesta.

$A^{\top}=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&-1\\1&-2&0\end{pmatrix}$

$\operatorname{Adj}(A^{\top})=\begin{pmatrix}-2&-1&-2\\0&0&1\\-1&0&-1\end{pmatrix}$

$A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\operatorname{Adj}(A^{\top})=-1\cdot\begin{pmatrix}-2&-1&-2\\0&0&1\\-1&0&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1&2\\0&0&-1\\1&0&1\end{pmatrix}$

Comprobamos multiplicando la primera fila de $A$ por la primera columna de $A^{-1}$: $0\cdot2+1\cdot0+1\cdot1=1$.

$\textbf{b) [1,5 puntos] Calcule razonadamente la matriz } \boldsymbol{X}\textbf{ de la ecuación matricial } \boldsymbol{AX + I_3 = BC}\textbf{, donde } \boldsymbol{I_3}\textbf{ es la matriz identidad.}$

Despejamos $X$ multiplicando por $A^{-1}$ por la izquierda, que es el lado por el que $A$ multiplica a $X$.

$AX+I=BC\Rightarrow AX=BC-I\Rightarrow X=A^{-1}(BC-I)$

Calculamos primero el producto $BC$, que es una matriz $3\times3$ por ser $B$ de orden $3\times2$ y $C$ de orden $2\times3$.

$BC=\begin{pmatrix}1&2\\0&-1\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1&1\\2&0&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&1&-3\\-2&0&2\\-1&1&3\end{pmatrix}$

$BC-I=\begin{pmatrix}4&1&-3\\-2&-1&2\\-1&1&2\end{pmatrix}$

Y por último el producto con la inversa:

$X=\begin{pmatrix}2&1&2\\0&0&-1\\1&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4&1&-3\\-2&-1&2\\-1&1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&3&0\\1&-1&-2\\3&2&-1\end{pmatrix}$

La matriz buscada es $X=\begin{pmatrix}4&3&0\\1&-1&-2\\3&2&-1\end{pmatrix}$.