Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2020

a) [1,25 puntos] Determine razonadamente los valores de $a$ para los que la matriz $A$ no tiene inversa

$A = \begin{pmatrix} 1 & a+1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & a \\ a & 0 & 1 & 0 \\ a & 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}$

b) [1,25 puntos] Calcule razonadamente todos los posibles valores $x,\,y,\,z$ para que el producto de las matrices $C = \begin{pmatrix} x & 1 \\ y & z \end{pmatrix}$ y $D = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ conmute.

$\textbf{a) [1,25 puntos] Determine razonadamente los valores de } \boldsymbol{a}\textbf{ para los que la matriz } \boldsymbol{A}\textbf{ no tiene inversa}$

$\boldsymbol{A = \begin{pmatrix} 1 & a+1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & a \\ a & 0 & 1 & 0 \\ a & 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}}$

Una matriz cuadrada no tiene inversa exactamente cuando su determinante se anula, así que basta calcularlo e igualarlo a cero.

Desarrollamos por la cuarta columna, que solo tiene dos elementos no nulos y, de hecho, uno solo distinto de cero salvo en la primera fila.

$|A|=\begin{vmatrix}1&a+1&2&1\\0&2&1&a\\ a&0&1&0\\ a&0&2&0\end{vmatrix}$

$|A|=-1\cdot\begin{vmatrix}0&2&1\\ a&0&1\\ a&0&2\end{vmatrix}+a\cdot\begin{vmatrix}1&a+1&2\\ a&0&1\\ a&0&2\end{vmatrix}$

Calculamos los dos menores. En ambos hay una columna con dos ceros, lo que los hace inmediatos.

$\begin{vmatrix}0&2&1\\ a&0&1\\ a&0&2\end{vmatrix}=-2\begin{vmatrix}a&1\\ a&2\end{vmatrix}=-2(2a-a)=-2a$

$\begin{vmatrix}1&a+1&2\\ a&0&1\\ a&0&2\end{vmatrix}=-(a+1)\begin{vmatrix}a&1\\ a&2\end{vmatrix}=-(a+1)a$

$|A|=-1\cdot(-2a)+a\cdot\left[-a(a+1)\right]=2a-a^3-a^2$

$|A|=-a\left(a^2+a-2\right)=-a(a-1)(a+2)$

$-a(a-1)(a+2)=0\Rightarrow\begin{cases}a=0\\a=1\\a=-2\end{cases}$

La matriz $A$ no tiene inversa para $a=0$, $a=1$ y $a=-2$; para cualquier otro valor del parámetro es regular.

$\textbf{b) [1,25 puntos] Calcule razonadamente todos los posibles valores } \boldsymbol{x,\,y,\,z}\textbf{ para que el producto de las matrices } \boldsymbol{C = \begin{pmatrix} x & 1 \\ y & z \end{pmatrix}}\textbf{ y } \boldsymbol{D = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}}\textbf{ conmute.}$

Que los dos productos conmuten significa que $CD=DC$, así que los calculamos y los igualamos entrada a entrada.

$CD=\begin{pmatrix}x&1\\ y&z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&1\\1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3x+1&x-1\\ 3y+z&y-z\end{pmatrix}$

$DC=\begin{pmatrix}3&1\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x&1\\ y&z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3x+y&3+z\\ x-y&1-z\end{pmatrix}$

$\begin{cases}3x+1=3x+y\\ x-1=3+z\\ 3y+z=x-y\\ y-z=1-z\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=1\\ x=z+4\\ 4y+z=x\\ y=1\end{cases}$

La primera y la cuarta ecuaciones dicen lo mismo, $y=1$. Sustituyendo en la tercera, $4+z=x$, que es exactamente la segunda. Quedan, pues, dos condiciones independientes y $z$ libre.

Las matrices que conmutan con $D$ dentro de esa familia son todas las de la forma

$C=\begin{pmatrix}z+4&1\\ 1&z\end{pmatrix},\qquad z\in\mathbb{R}$

es decir, $x=z+4$, $y=1$ y $z$ cualquier número real.