Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2022

a) [1,5 puntos] Despeje la matriz $X$ de la ecuación matricial $A \cdot X + B = X$, siendo $X$, $A$ y $B$ matrices cuadradas cualesquiera. Calcule $X$ para las matrices

$A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}; \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

b) [1 punto] Un piloto de Fórmula 1 tiene una probabilidad del 60 % de ganar una carrera cualquiera. Si participa en las próximas 4 carreras, ¿cuál es la probabilidad de que gane al menos dos?

$\textbf{a) [1,5 puntos] Despeje la matriz } \boldsymbol{X}\textbf{ de la ecuación matricial } \boldsymbol{A \cdot X + B = X}\textbf{, siendo } \boldsymbol{X}\textbf{, } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{B}\textbf{ matrices cuadradas cualesquiera. Calcule } \boldsymbol{X}\textbf{ para las matrices}$

$\boldsymbol{A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}; \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}}$

Agrupamos los términos que llevan $X$ en un miembro. Hay que sacar factor común por la izquierda, porque el producto de matrices no es conmutativo, y para ello se escribe $X=IX$.

$AX+B=X\Rightarrow AX-X=-B\Rightarrow AX-IX=-B\Rightarrow (A-I)X=-B$

Si $A-I$ es regular, multiplicamos por la izquierda por su inversa:

$X=(A-I)^{-1}(-B)$

Calculamos $A-I$ y comprobamos que se puede invertir.

$A-I=\begin{pmatrix}3&-1\\0&2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-1\\0&1\end{pmatrix},\qquad |A-I|=2\neq0$

$(A-I)^{-1}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\0&1\end{pmatrix}$

$-B=\begin{pmatrix}-2&0\\-1&-2\end{pmatrix}$

$X=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2&0\\-1&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{3}{2}&-1\\-1&-2\end{pmatrix}$

La matriz buscada es $X=\begin{pmatrix}-\frac{3}{2}&-1\\-1&-2\end{pmatrix}$.

$\textbf{b) [1 punto] Un piloto de Fórmula 1 tiene una probabilidad del 60\% de ganar una carrera cualquiera. Si participa en las próximas 4 carreras, ¿cuál es la probabilidad de que gane al menos dos?}$

Llamamos $X$ al número de carreras que gana. Las cuatro carreras son independientes y en todas la probabilidad de victoria es la misma, de modo que

$X\sim B(n,p)=B(4;\,0{,}6)$

Ganar al menos dos es el suceso contrario de ganar ninguna o solo una, que son dos sumandos en vez de tres.

$P(X\geq2)=1-P(X=0)-P(X=1)$

$P(X=0)=\binom{4}{0}\,0{,}6^0\,0{,}4^{4}=0{,}0256$

$P(X=1)=\binom{4}{1}\,0{,}6^1\,0{,}4^{3}=4\cdot0{,}6\cdot0{,}064=0{,}1536$

$P(X\geq2)=1-0{,}0256-0{,}1536=0{,}8208$

La probabilidad de que gane al menos dos de las cuatro carreras es $0{,}8208$, es decir, un $82{,}08\%$.