Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2022

a) [1,5 puntos] Estudie el rango de la matriz $M$ en función del parámetro $m \in \mathbb{R}$, siendo

$M = \begin{pmatrix} 2 & m & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & m \\ 4 & 1 & m & 2 \end{pmatrix}$

b) [1 punto] Sean los planos $\pi_1 \equiv 2x + my = 1$, $\pi_2 \equiv 2x + y = m$ y $\pi_3 \equiv 4x + y + mz = 2$. Estudie su posición relativa según los valores de $m$. Puede utilizar los resultados obtenidos en el apartado anterior.

$\textbf{a) [1,5 puntos] Estudie el rango de la matriz } \boldsymbol{M}\textbf{ en función del parámetro } \boldsymbol{m \in \mathbb{R}}\textbf{, siendo}$

$\boldsymbol{M = \begin{pmatrix} 2 & m & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & m \\ 4 & 1 & m & 2 \end{pmatrix}}$

La matriz es de orden $3\times4$, luego su rango es como mucho $3$. Hay que ver para qué valores de $m$ se anulan a la vez los cuatro menores de orden $3$.

$\begin{vmatrix}2&m&0\\2&1&0\\4&1&m\end{vmatrix}=m\begin{vmatrix}2&m\\2&1\end{vmatrix}=m(2-2m)=-2m(m-1)$

$\begin{vmatrix}2&m&1\\2&1&m\\4&1&2\end{vmatrix}=4+4m^2+2-4-2m-4m=4m^2-6m+2=2(m-1)(2m-1)$

El primero se anula en $m=0$ y $m=1$; el segundo, en $m=1$ y $m=\frac12$. El único valor común es $m=1$, de modo que para cualquier otro $m$ alguno de los dos menores es distinto de cero.

Si $m\neq1$, entonces $\operatorname{ran}(M)=3$.

Si $m=1$, la matriz queda

$M=\begin{pmatrix}2&1&0&1\\2&1&0&1\\4&1&1&2\end{pmatrix}$

con las dos primeras filas iguales, luego el rango no puede pasar de $2$; y como $\begin{vmatrix}2&1\\4&1\end{vmatrix}=2-4=-2\neq0$, se tiene $\operatorname{ran}(M)=2$.

El rango de $M$ es $3$ para $m\neq1$ y $2$ para $m=1$.

$\textbf{b) [1 punto] Sean los planos } \boldsymbol{\pi_1 \equiv 2x + my = 1}\textbf{, } \boldsymbol{\pi_2 \equiv 2x + y = m}\textbf{ y } \boldsymbol{\pi_3 \equiv 4x + y + mz = 2}\textbf{. Estudie su posición relativa según los valores de } \boldsymbol{m}\textbf{.}$

La matriz ampliada del sistema que forman los tres planos es exactamente la matriz $M$ del apartado anterior, y la de coeficientes es la que resulta de quitarle la última columna.

$A=\begin{pmatrix}2&m&0\\2&1&0\\4&1&m\end{pmatrix},\qquad A^*=M$

$|A|=-2m(m-1)=0\Rightarrow\begin{cases}m=0\\m=1\end{cases}$

Si $m\neq0$ y $m\neq1$, entonces $\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^*)=3$: el sistema es compatible determinado y los tres planos se cortan en un único punto.

Si $m=0$, se tiene $|A|=0$ y $\begin{vmatrix}2&0\\2&1\end{vmatrix}=2\neq0$, luego $\operatorname{ran}(A)=2$; en cambio, el segundo menor del apartado anterior vale $2(0-1)(0-1)=2\neq0$, así que $\operatorname{ran}(A^*)=3$ y el sistema es incompatible. Los vectores normales $(2,0,0)$, $(2,1,0)$ y $(4,1,0)$ no son proporcionales dos a dos, de modo que no hay planos paralelos: se cortan dos a dos en tres rectas paralelas.



Si $m=1$, por el apartado anterior $\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^*)=2<3$: el sistema es compatible indeterminado con un parámetro. Además $\pi_1:2x+y=1$ y $\pi_2:2x+y=1$ son el mismo plano, que corta a $\pi_3:4x+y+z=2$ en una recta.

En resumen: para $m\neq0,1$ los tres planos se cortan en un punto; para $m=0$ forman una superficie prismática, sin ningún punto común; y para $m=1$ dos de ellos son coincidentes y cortan al tercero en una recta.