Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2022

a) [1,5 puntos] Encuentre todas las matrices $X$ que conmutan con la matriz

$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$

es decir, que verifican que $AX = XA$.

b) [1 punto] ¿Existe alguna matriz simétrica que conmute con $A$ y cuyo determinante valga 4?

$\textbf{a) [1,5 puntos] Encuentre todas las matrices } \boldsymbol{X}\textbf{ que conmutan con la matriz}$

$\boldsymbol{A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}}$

$\textbf{es decir, que verifican que } \boldsymbol{AX = XA}\textbf{.}$

Para que los dos productos tengan sentido y sean del mismo tamaño, $X$ ha de ser cuadrada de orden $2$. Escribimos sus cuatro elementos como incógnitas y efectuamos los dos productos.

$X=\begin{pmatrix}p&q\\ r&s\end{pmatrix}$

$AX=\begin{pmatrix}2&0\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p&q\\ r&s\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2p&2q\\ p-r&q-s\end{pmatrix}$

$XA=\begin{pmatrix}p&q\\ r&s\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&0\\1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2p+q&-q\\ 2r+s&-s\end{pmatrix}$

Igualamos las dos matrices entrada a entrada.

$\begin{cases}2p=2p+q\\ 2q=-q\\ p-r=2r+s\\ q-s=-s\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}q=0\\ 3q=0\\ p=3r+s\\ q=0\end{cases}$

Las cuatro ecuaciones se reducen a dos condiciones: $q=0$ y $p=3r+s$, quedando $r$ y $s$ libres.

Las matrices que conmutan con $A$ son todas las de la forma

$X=\begin{pmatrix}3r+s&0\\ r&s\end{pmatrix},\qquad r,s\in\mathbb{R}$

$\textbf{b) [1 punto] ¿Existe alguna matriz simétrica que conmute con } \boldsymbol{A}\textbf{ y cuyo determinante valga 4?}$

Añadimos las dos condiciones nuevas a la familia obtenida. Una matriz cuadrada de orden $2$ es simétrica cuando sus dos elementos fuera de la diagonal coinciden.

$X=X^{t}\Rightarrow q=r$

Como en el apartado anterior obtuvimos $q=0$, se sigue $r=0$ y, con ello, $p=3\cdot0+s=s$.

$X=\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}$

Imponemos ahora la condición sobre el determinante.

$|X|=\begin{vmatrix}s&0\\0&s\end{vmatrix}=s^2=4\Rightarrow s=\pm2$

Sí existen, y son dos:

$X_1=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}=2I,\qquad X_2=\begin{pmatrix}-2&0\\0&-2\end{pmatrix}=-2I$

Era previsible: las matrices escalares conmutan con cualquier matriz del mismo orden y son simétricas.