Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2023

a) [1,25 puntos] Sabiendo que $\begin{vmatrix} 1 & 3 & 5 \\ a & b & c \\ x & y & z \end{vmatrix} = 6$ con $a,\,b,\,c,\,x,\,y,\,z \in \mathbb{R}$, calcule el valor de $\begin{vmatrix} 1/2 & 3/2 & 5/2 \\ a+2 & b+6 & c+10 \\ 4x & 4y & 4z \end{vmatrix}$ e indique en cada paso las propiedades que utiliza.

b) [1,25 puntos] Calcule el ángulo que forman los vectores $\vec{u} = (1,\,1,\,1)$ y $\vec{v} = (3,\,2,\,3)$.

$\textbf{a) [1,25 puntos] Sabiendo que } \boldsymbol{\begin{vmatrix} 1 & 3 & 5 \\ a & b & c \\ x & y & z \end{vmatrix} = 6}\textbf{ con } \boldsymbol{a,\,b,\,c,\,x,\,y,\,z \in \mathbb{R}}\textbf{, calcule el valor de } \boldsymbol{\begin{vmatrix} 1/2 & 3/2 & 5/2 \\ a+2 & b+6 & c+10 \\ 4x & 4y & 4z \end{vmatrix}}\textbf{ e indique en cada paso las propiedades que utiliza.}$

No hay que calcular ningún determinante: basta transformar el segundo en el primero aplicando las propiedades de los determinantes, una en cada paso.

i) Si todos los elementos de una fila se multiplican por un número, ese número sale fuera del determinante. La primera fila está dividida entre $2$ y la tercera multiplicada por $4$:

$\begin{vmatrix}1/2&3/2&5/2\\a+2&b+6&c+10\\4x&4y&4z\end{vmatrix}=\dfrac{1}{2}\cdot4\begin{vmatrix}1&3&5\\a+2&b+6&c+10\\x&y&z\end{vmatrix}=2\begin{vmatrix}1&3&5\\a+2&b+6&c+10\\x&y&z\end{vmatrix}$

ii) Si los elementos de una fila son sumas de dos sumandos, el determinante se descompone en la suma de los dos determinantes correspondientes. La segunda fila es $(a,b,c)+(2,6,10)$:

$=2\left(\begin{vmatrix}1&3&5\\a&b&c\\x&y&z\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}1&3&5\\2&6&10\\x&y&z\end{vmatrix}\right)$

iii) En el segundo determinante la fila $(2,6,10)$ es el doble de $(1,3,5)$, y un determinante con dos filas proporcionales es nulo:

$=2\left(6+0\right)=12$

El determinante pedido vale $12$.

$\textbf{b) [1,25 puntos] Calcule el ángulo que forman los vectores } \boldsymbol{\vec{u} = (1,\,1,\,1)}\textbf{ y } \boldsymbol{\vec{v} = (3,\,2,\,3)}\textbf{.}$

Despejamos el coseno del ángulo de la definición geométrica del producto escalar.

$\cos\alpha=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec u|\,|\vec v|}$

$\vec u\cdot\vec v=1\cdot3+1\cdot2+1\cdot3=8$

$|\vec u|=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3},\qquad |\vec v|=\sqrt{9+4+9}=\sqrt{22}$

$\cos\alpha=\dfrac{8}{\sqrt3\cdot\sqrt{22}}=\dfrac{8}{\sqrt{66}}=\dfrac{4\sqrt{66}}{33}\approx0{,}9847$

$\alpha=\arccos(0{,}9847)\approx10{,}02^\circ$

Los dos vectores forman un ángulo de aproximadamente $10{,}02^\circ$, es decir, unos $10^\circ\,1'$.