Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2023

a) [1,25 puntos] Sea la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. Calcule el rango de $A$.

b) [1,25 puntos] Sea la recta $r$ definida por la intersección de los planos $\pi_1 \equiv x + y + z = 1$, $\pi_2 \equiv y + 2z = 1$. Por otro lado, consideraremos el plano $\pi_3 \equiv 2x + y = 1$. Determine la posición relativa de la recta $r$ y el plano $\pi_3$. El resultado del apartado anterior le puede ayudar.

$\textbf{a) [1,25 puntos] Sea la matriz } \boldsymbol{A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}}\textbf{. Calcule el rango de } \boldsymbol{A}\textbf{.}$

La matriz es de orden $3\times4$, luego su rango es como mucho $3$. Empezamos por abajo: el menor

$\begin{vmatrix}1&1\\0&1\end{vmatrix}=1\neq0\Rightarrow \operatorname{ran}(A)\geq2$

Orlamos ese menor con la tercera fila y cada una de las columnas restantes.

$\begin{vmatrix}1&1&1\\0&1&2\\2&1&0\end{vmatrix}=0+4+0-2-2-0=0$

$\begin{vmatrix}1&1&1\\0&1&1\\2&1&1\end{vmatrix}=1+2+0-2-1-0=0$

Los dos menores de orden $3$ que orlan son nulos, de modo que el rango no llega a $3$. La razón se ve directamente en las filas:

$2F_1-F_2=2(1,1,1,1)-(0,1,2,1)=(2,1,0,1)=F_3$

Hay, por tanto, solo dos filas linealmente independientes: $\operatorname{ran}(A)=2$.

$\textbf{b) [1,25 puntos] Sea la recta } \boldsymbol{r}\textbf{ definida por la intersección de los planos } \boldsymbol{\pi_1 \equiv x + y + z = 1}\textbf{, } \boldsymbol{\pi_2 \equiv y + 2z = 1}\textbf{. Por otro lado, consideraremos el plano } \boldsymbol{\pi_3 \equiv 2x + y = 1}\textbf{. Determine la posición relativa de la recta } \boldsymbol{r}\textbf{ y el plano } \boldsymbol{\pi_3}\textbf{.}$

La posición relativa se decide estudiando el sistema formado por las ecuaciones de los tres planos, cuya matriz ampliada es exactamente la matriz $A$ del apartado anterior.

$A^*=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&2&1\\2&1&0&1\end{pmatrix},\qquad M=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&2\\2&1&0\end{pmatrix}$

En el apartado a) hemos visto que $\operatorname{ran}(A^*)=2$, y en particular que el primero de los menores calculados, que es justamente $|M|$, es nulo. Como el menor $\begin{vmatrix}1&1\\0&1\end{vmatrix}=1\neq0$ está dentro de $M$,

$\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(A^*)=2<3=\text{n.º de incógnitas}$

El sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad, es decir, sus soluciones forman una recta: los tres planos comparten toda una recta, que no es otra que $r$.



La recta $r$ está contenida en el plano $\pi_3$.