Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2023

a) [1 punto] Calcule la siguiente integral:

$\displaystyle\int \dfrac{dx}{(1-3x)^{1/2} - (1-3x)^{2/3}}$

Puede utilizar el cambio de variable $1 - 3x = t^6$.

b) [1,5 puntos] Sean las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$. Sin calcular $A^{-1}$, razone por qué $A^{-1}$ existe y discuta si la matriz $A^{-1} \cdot B$ tiene inversa.

$\textbf{a) [1 punto] Calcule la siguiente integral:}$

$\boldsymbol{\displaystyle\int \dfrac{dx}{(1-3x)^{1/2} - (1-3x)^{2/3}}}$

Aplicamos el cambio de variable sugerido. El exponente $6$ es el mínimo común múltiplo de los denominadores $2$ y $3$, y es lo que hace desaparecer las raíces.

$1-3x=t^6\Rightarrow x=\dfrac{1-t^6}{3},\qquad dx=-2t^5\,dt$

$(1-3x)^{1/2}=t^3,\qquad (1-3x)^{2/3}=t^4$

$\int\dfrac{dx}{(1-3x)^{1/2}-(1-3x)^{2/3}}=\int\dfrac{-2t^5}{t^3-t^4}\,dt=\int\dfrac{-2t^5}{t^3(1-t)}\,dt=\int\dfrac{2t^2}{t-1}\,dt$

Queda una función racional con el numerador de mayor grado, así que efectuamos la división.

$\dfrac{2t^2}{t-1}=2t+2+\dfrac{2}{t-1}$

$\int\left(2t+2+\dfrac{2}{t-1}\right)dt=t^2+2t+2\ln|t-1|+C$

Deshacemos el cambio con $t=(1-3x)^{1/6}$:

$\int\dfrac{dx}{(1-3x)^{1/2}-(1-3x)^{2/3}}=(1-3x)^{1/3}+2(1-3x)^{1/6}+2\ln\left|(1-3x)^{1/6}-1\right|+C$

$\textbf{b) [1,5 puntos] Sean las matrices } \boldsymbol{A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}}\textbf{ y } \boldsymbol{B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}}\textbf{. Sin calcular } \boldsymbol{A^{-1}}\textbf{, razone por qué } \boldsymbol{A^{-1}}\textbf{ existe y discuta si la matriz } \boldsymbol{A^{-1} \cdot B}\textbf{ tiene inversa.}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero, de modo que basta calcular determinantes.

$|A|=\begin{vmatrix}1&0&1\\0&1&0\\2&0&0\end{vmatrix}=1\cdot\begin{vmatrix}1&0\\0&0\end{vmatrix}+1\cdot\begin{vmatrix}0&1\\2&0\end{vmatrix}=0+(0-2)=-2$

Como $|A|=-2\neq0$, la matriz $A$ es regular y existe $A^{-1}$, sin necesidad de calcularla.

Para la segunda matriz observamos que su segunda fila es la fila nula, y un determinante con una fila de ceros vale cero.

$|B|=0$

Aplicamos ahora que el determinante de un producto es el producto de los determinantes, y que $|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$.

$|A^{-1}\cdot B|=|A^{-1}|\cdot|B|=\dfrac{1}{-2}\cdot0=0$

La matriz $A^{-1}$ existe porque $|A|=-2\neq0$, pero $A^{-1}\cdot B$ no tiene inversa, ya que su determinante es nulo. Multiplicar por una matriz regular no puede recuperar el rango que $B$ ha perdido.