Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2024

a) [1,25 puntos] Sea el determinante $\begin{vmatrix} x & y & z \\ a & b & c \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 1$. Calcule razonadamente el valor del siguiente determinante: $\begin{vmatrix} x+a & y+b & z+c \\ 2a & 2b & 2c \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix}$.

b) [1,25 puntos] Obtenga la ecuación de la recta que es paralela a la recta $\dfrac{x-1}{1} = \dfrac{y-1}{1} = \dfrac{z}{-2}$ y contiene al punto $A(0,1,0)$.

$\textbf{a) [1,25 puntos] Sea el determinante } \boldsymbol{\begin{vmatrix} x & y & z \\ a & b & c \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 1}\textbf{. Calcule razonadamente el valor del siguiente determinante: } \boldsymbol{\begin{vmatrix} x+a & y+b & z+c \\ 2a & 2b & 2c \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix}}\textbf{.}$

No hay que calcular ningún determinante: basta llevar el segundo al primero usando las propiedades de los determinantes, indicando cuál se aplica en cada paso.

i) Si una fila tiene todos sus elementos multiplicados por un número, ese número sale fuera del determinante. Sacamos el $2$ de la segunda fila:

$\begin{vmatrix}x+a&y+b&z+c\\2a&2b&2c\\3&2&1\end{vmatrix}=2\begin{vmatrix}x+a&y+b&z+c\\a&b&c\\3&2&1\end{vmatrix}$

ii) Si los elementos de una fila son sumas de dos sumandos, el determinante se descompone en la suma de los dos determinantes correspondientes:

$=2\left(\begin{vmatrix}x&y&z\\a&b&c\\3&2&1\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a&b&c\\a&b&c\\3&2&1\end{vmatrix}\right)$

iii) Un determinante con dos filas iguales es nulo, de modo que el segundo sumando se va:

$=2\left(1+0\right)=2$

El determinante pedido vale $2$.

$\textbf{b) [1,25 puntos] Obtenga la ecuación de la recta que es paralela a la recta } \boldsymbol{\dfrac{x-1}{1} = \dfrac{y-1}{1} = \dfrac{z}{-2}}\textbf{ y contiene al punto } \boldsymbol{A(0,1,0)}\textbf{.}$

Dos rectas paralelas comparten vector director, y el de la recta dada se lee directamente en los denominadores de su ecuación continua.

$\vec v=(1,1,-2)$

Con ese vector director y el punto $A(0,1,0)$ escribimos las ecuaciones paramétricas de la recta pedida.

$s:\begin{cases}x=\lambda\\ y=1+\lambda\\ z=-2\lambda\end{cases},\quad \lambda\in\mathbb{R}$

Y, despejando el parámetro, su ecuación continua:

$s:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z}{-2}$

Conviene comprobar que las dos rectas son paralelas y no la misma: el punto $A(0,1,0)$ no cumple la ecuación de la recta de partida, ya que $\frac{0-1}{1}=-1$ mientras que $\frac{1-1}{1}=0$. Son, pues, paralelas y distintas.