Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2024

a) [1 punto] Calcule la siguiente integral: $\displaystyle\int \dfrac{2x^2}{x^2+1}\,dx$.

b) [1,5 puntos] Sea la matriz $A = \begin{pmatrix} a & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, con $a \in \mathbb{R}$. Calcule el determinante de $A$ y de $A \cdot A$. ¿Cuál cree que será el determinante del producto de $n$ veces $A$ (con $n > 2$ y entero)? Justifique y razone su respuesta.

$\textbf{a) [1 punto] Calcule la siguiente integral: } \boldsymbol{\displaystyle\int \dfrac{2x^2}{x^2+1}\,dx}\textbf{.}$

El numerador y el denominador tienen el mismo grado, así que empezamos efectuando la división para separar la parte entera.

$\dfrac{2x^2}{x^2+1}=\dfrac{2x^2+2-2}{x^2+1}=\dfrac{2(x^2+1)}{x^2+1}-\dfrac{2}{x^2+1}=2-\dfrac{2}{x^2+1}$

$\int\dfrac{2x^2}{x^2+1}\,dx=\int 2\,dx-\int\dfrac{2}{x^2+1}\,dx$

La segunda integral es inmediata de tipo arco tangente.

$\int\dfrac{2x^2}{x^2+1}\,dx=2x-2\arctan x+C$

$\textbf{b) [1,5 puntos] Sea la matriz } \boldsymbol{A = \begin{pmatrix} a & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}\textbf{, con } \boldsymbol{a \in \mathbb{R}}\textbf{. Calcule el determinante de } \boldsymbol{A}\textbf{ y de } \boldsymbol{A \cdot A}\textbf{. ¿Cuál cree que será el determinante del producto de } \boldsymbol{n}\textbf{ veces } \boldsymbol{A}\textbf{ (con } \boldsymbol{n > 2}\textbf{ y entero)? Justifique y razone su respuesta.}$

La matriz es triangular, de modo que su determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal.

$|A|=\begin{vmatrix}a&2\\0&1\end{vmatrix}=a\cdot1-2\cdot0=a$

Calculamos el producto y su determinante:

$A\cdot A=\begin{pmatrix}a&2\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&2\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a^2&2a+2\\0&1\end{pmatrix}$

$|A\cdot A|=\begin{vmatrix}a^2&2a+2\\0&1\end{vmatrix}=a^2$

El resultado no es casual: el determinante de un producto de matrices cuadradas es el producto de los determinantes.

$|A\cdot A|=|A|\cdot|A|=a\cdot a=a^2$

Aplicando esa propiedad $n-1$ veces al producto de $n$ factores iguales,

$|A^n|=|A\cdot A\cdots A|=|A|\cdot|A|\cdots|A|=|A|^n$

El determinante del producto de $n$ veces $A$ es $|A^n|=a^n$. En particular vale $0$ para $a=0$, único valor para el que $A$ no tiene inversa.