Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2024

a) [1,25 puntos] Sea la matriz $A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, con $a \in \mathbb{R}$. ¿Existe algún valor de $a$ para el que la matriz $A$ y su inversa sean iguales? Si es así, indique cuáles. Justifique su respuesta.

b) [1,25 puntos] Calcule la ecuación de la recta que contiene al punto $A(1,0,0)$ y que es perpendicular a los vectores $\vec{u} = (1,\,2,\,1)$ y $\vec{v} = (1,\,0,\,0)$.

$\textbf{a) [1,25 puntos] Sea la matriz } \boldsymbol{A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}}\textbf{, con } \boldsymbol{a \in \mathbb{R}}\textbf{. ¿Existe algún valor de } \boldsymbol{a}\textbf{ para el que la matriz } \boldsymbol{A}\textbf{ y su inversa sean iguales? Si es así, indique cuáles. Justifique su respuesta.}$

Lo primero es comprobar que la inversa existe, es decir, que el determinante no se anula.

$|A|=\begin{vmatrix}a&1\\1&0\end{vmatrix}=a\cdot0-1\cdot1=-1\neq0\ \ \forall a\in\mathbb{R}$

La matriz es regular para cualquier $a$, así que calculamos su inversa.

$A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\operatorname{Adj}(A^{t})=\dfrac{1}{-1}\begin{pmatrix}0&-1\\-1&a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\1&-a\end{pmatrix}$

Imponemos ahora que $A=A^{-1}$ igualando las matrices entrada a entrada.

$\begin{pmatrix}a&1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\1&-a\end{pmatrix}\Rightarrow\begin{cases}a=0\\1=1\\1=1\\0=-a\end{cases}$

Las cuatro condiciones se reducen a $a=0$ y son compatibles entre sí.

Sí existe, y es único: para $a=0$ se tiene $A=A^{-1}=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$. Se puede comprobar directamente, ya que $A\cdot A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I$.

$\textbf{b) [1,25 puntos] Calcule la ecuación de la recta que contiene al punto } \boldsymbol{A(1,0,0)}\textbf{ y que es perpendicular a los vectores } \boldsymbol{\vec{u} = (1,\,2,\,1)}\textbf{ y } \boldsymbol{\vec{v} = (1,\,0,\,0)}\textbf{.}$

Un vector perpendicular a la vez a $\vec u$ y a $\vec v$ es su producto vectorial, y ese será el vector director de la recta pedida.

$\vec u\times\vec v=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\1&2&1\\1&0&0\end{vmatrix}=(0,1,-2)$

Con el punto $A(1,0,0)$ y ese vector director escribimos las ecuaciones paramétricas.

$r:\begin{cases}x=1\\ y=\lambda\\ z=-2\lambda\end{cases},\quad \lambda\in\mathbb{R}$

Eliminando el parámetro entre las dos últimas ecuaciones obtenemos la forma implícita.

$r:\begin{cases}x=1\\ 2y+z=0\end{cases}$

La recta buscada es $r:x=1,\ 2y+z=0$, que pasa por $A(1,0,0)$ y tiene como vector director $(0,1,-2)$.